《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

19. (本小题满分12分)如图，在长方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，点E, F分别在棱DD₁, BB₁上，且2DE = ED₁，BF = 2FB₁。
(1)证明:点C在平面AEF内;
(2)若AB = 2，AD = 1，AA₁ = 3，求二面角A - EF - A₁的正弦值。

答案： 19.[命题点]空间中点与平面的位置关系，空间向量及二面角的正弦值的求法
设AB = a，AD = b，$AA_{1}=c$，如图，以$C_{1}$为坐标原点，$C_{1}D_{1}$的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系$C_{1}-xyz$.
(1)[证明]连接$C_{1}F$，则$C_{1}(0,0,0)$，
A(a,b,c)，$E(a,0,\frac{2}{3}c)$，$F(0,b,c)$，
2分
$\overrightarrow{EA}=(0,b,\frac{1}{3}c)$，$\overrightarrow{C_{1}F}=(0,b,c)$
得$\overrightarrow{EA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{C_{1}F}$，
4分
因此$\overrightarrow{EA}//\overrightarrow{C_{1}F}$，即$A$，$E$，$F$，$C_{1}$四点共面，所以点$C_{1}$在平面$AEF$内
6分
(2)[解]由已知得$A_{1}(2,1,3)$，$E(2,0,2)$，$F(0,1,1)$，$A(2,1,0)$，$\overrightarrow{AE}=(0, - 1, - 1)$，$\overrightarrow{A_{1}F}=(-2,0, - 2)$，$\overrightarrow{AE}=(0, - 1,2)$，$\overrightarrow{A_{1}A}=(-2,0,1)$.
设$\overrightarrow{n_{1}}=(x,y,z)$为平面$AEF$的法向量，则
$\begin{cases}\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{AE}=0\\\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{A_{1}F}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}-y - z = 0\\-2x - 2z = 0\end{cases}$，可取$\overrightarrow{n_{1}}=(-1, - 1,1)$.
8分
设$\overrightarrow{n_{2}}$为平面$A_{1}EF$的法向量，则
$\begin{cases}\overrightarrow{n_{2}}\cdot\overrightarrow{AE}=0\\\overrightarrow{n_{2}}\cdot\overrightarrow{A_{1}F}=0\end{cases}$，同理可取$\overrightarrow{n_{2}}=(\frac{1}{2},2,1)$.
10分
因为$\cos\langle\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}\rangle=\frac{\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{2}}}{\vert\overrightarrow{n_{1}}\vert\vert\overrightarrow{n_{2}}\vert}=-\frac{\sqrt{7}}{7}$，
(注意求的是正弦值而非余弦值)
所以二面角$A - EF - A_{1}$的正弦值为$\frac{\sqrt{42}}{7}$.
12分

20.(本小题满分12分)已知椭圆C:$\frac{x^{2}}{25}$+$\frac{y^{2}}{m^{2}}$=1(0＜m＜5)
　的离心率为$\frac{\sqrt{15}}{4}$,A,B分别为C的左、右顶点.
　(1)求C的方程;
　(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=
　　|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.

答案： 20.
[命题点]椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系
[解]
(1)由题设可得$\frac{\sqrt{25 - m^2}}{5} = \frac{\sqrt{15}}{4}$，得$m^2 = \frac{25}{16}$。2分
所以C的方程为$\frac{x^2}{25} + \frac{16y^2}{25} = 1$。4分
(2)设$P(x_p, y_p)$，$Q(6, y_0)$，根据对称性可设$y_0 ＞ 0$，由题意知$y_p ＞ 0$。
(结合椭圆的对称性，可设$y_0 ＞ 0$，这样避免开方时讨论符号)
由已知可得$B(5, 0)$，直线$BP$的方程为$y = -\frac{1}{y_0}(x - 5)$。
(由于$k_{BQ} = y_0$，且$BP \perp BQ$，因此$k_{BP} = -\frac{1}{y_0}$，利用点斜式可求直线$BP$的方程)
所以$|BP| = y_p\sqrt{1 + y_0^2}$，$|BQ| = \sqrt{1 + y_0^2}$。6分
将点$P(x_p, y_p)$代入$y = -\frac{1}{y_0}(x - 5)$可知$x_p = 5 - y_py_0$，结合两点间的距离公式可求$|BP| = \sqrt{[5 - (5 - y_py_0)]^2 + y_p^2} = y_p\sqrt{1 + y_0^2}$。
因为$|BP| = |BQ|$，所以$y_p = 1$，将$y_p = 1$代入C的方程，解得$x_p = 3$或$-3$。
由直线$BP$的方程得$y_0 = 2$或$8$。7分
所以点$P$，$Q$的坐标分别为$P_1(3, 1)$，$Q_1(6, 2)$；$P_2(-3, 1)$，$Q_2(6, 8)$。8分
$|P_1Q_1| = \sqrt{10}$，直线$P_1Q_1$的方程为$y = \frac{1}{3}x$，点$A(-5, 0)$到直线$P_1Q_1$的距离为$\frac{\sqrt{10}}{2}$，故$\triangle AP_1Q_1$的面积为$\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{10}}{2} \times \sqrt{10} = \frac{5}{2}$。10分
$|P_2Q_2| = \sqrt{130}$，直线$P_2Q_2$的方程为$y = \frac{7}{9}x + \frac{10}{3}$，点$A$到直线$P_2Q_2$的距离为$\frac{\sqrt{130}}{2}$，故$\triangle AP_2Q_2$的面积为$\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{130}}{2} \times \sqrt{130} = \frac{65}{2}$。
综上，$\triangle APQ$的面积为$\frac{5}{2}$。12分
易错警示
本题求点$P$坐标时的易错之处是将直线$BP$的方程$y = -\frac{1}{y_0}(x - 5)$代入椭圆方程中，将$|BP| = |BQ|$利用两点间的距离公式转化，造成烦琐的计算，且不能得到结果。
一题多解
(2)由题意得$A(-5, 0)$，$B(5, 0)$。设$P(s, t)$，$Q(6, n)$。根据对称性，只需考虑$n ＞ 0$时的情况，此时$-5 ＜ s ＜ 5$，$0 ＜ t \leq \frac{5}{4}$。
$\overrightarrow{BP} = (s - 5, t)$，$\overrightarrow{BQ} = (1, n)$。5分
因为$|\overrightarrow{BP}| = |\overrightarrow{BQ}|$，所以$(s - 5)^2 + t^2 = 1 + n^2$ ①。
因为$\overrightarrow{BP} \perp \overrightarrow{BQ}$，所以$\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{BQ} = 0$，所以$s - 5 + nt = 0$ ②。
因为点$P$在C上，所以$\frac{s^2}{25} + \frac{16t^2}{25} = 1$ ③。7分
由①②③及$-5 ＜ s ＜ 5$，$0 ＜ t \leq \frac{5}{4}$，$n ＞ 0$得$\begin{cases}s = 3 \\ t = 1 \\ n = 2\end{cases}$或$\begin{cases}s = -3 \\ t = 1 \\ n = 8\end{cases}$。
当$\begin{cases}s = 3 \\ t = 1 \\ n = 2\end{cases}$时，$\overrightarrow{AP} = (8, 1)$，$\overrightarrow{AQ} = (11, 2)$。8分
所以$S_{\triangle APQ} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AP}| \cdot |\overrightarrow{AQ}| \sin\angle PAQ$
$= \frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{AP}|^2 \cdot |\overrightarrow{AQ}|^2 - (\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AQ})^2}$
$= \frac{1}{2} \times \sqrt{65 \times 125 - 90^2}$
$= \frac{5}{2}$。10分
当$\begin{cases}s = -3 \\ t = 1 \\ n = 8\end{cases}$时，同理可求得$S_{\triangle APQ} = \frac{5}{2}$。
综上，$\triangle APQ$的面积是$\frac{5}{2}$。12分