《2026年全品中考复习方案数学北师大版》

1. 如图 W10 - 13，$P$ 为 $\angle MON$ 的平分线上一点，$\angle APB$ 的两边分别与射线 $OM$，$ON$ 交于 $A$，$B$ 两点，$\angle APB$ 绕点 $P$ 旋转时始终满足 $OA· OB = OP^{2}$。若 $\angle MON = 54^{\circ}$，则$\angle APB$ 的度数为(A)

A.$153^{\circ}$
B.$144^{\circ}$
C.$163^{\circ}$
D.$162^{\circ}$

答案： A

2. 在等边三角形 $ABC$ 中，$D$ 是线段 $BC$ 的中点，$\angle EDF = 120^{\circ}$，射线 $DE$与线段 $AB$ 相交于点 $E$，射线 $DF$ 与线段 $AC$（或 $AC$ 的延长线）相交于点 $F$。
(1)如图 W10 - 14，若 $DF\perp AC$，直接写出 $DE$与 $AB$ 的位置关系；
(2)如图 W10 - 15，将(1)中的 $\angle EDF$ 绕点 $D$顺时针旋转一定的角度，$DF$ 仍与线段 $AC$ 相交于点 $F$，求证：$DE = DF$；
(3)在 $\angle EDF$ 绕点 $D$ 顺时针旋转的过程中，直接用等式表示线段 $BE$，$CF$，$AB$ 之间的数量关系；
(4)当 $\angle EDF$ 绕点 $D$ 顺时针旋转到如图W10 - 16 的位置时，$DF$ 与线段 $AC$ 的延长线相交于点 $F$，作 $DN\perp AC$ 于点 $N$。若 $DN =$ $FN$，$AB = 10$，直接写出 $BE + CF$ 的值。

答案：
解:
(1)DE⊥AB. 　　
(2)证明:如图，过点D分别作DP⊥AB,DQ⊥AC，垂足分别为P,Q,连接AD. 　　　　　 　　在等边三角形ABC中，
∵D是线段BC的中点，
∴AD平分∠BAC.
∴DP=DQ.
∵∠AQD=∠APD=90°,∠BAC = 60°,
∴∠PDQ=360°−60°−90°−90°=120°.
∴∠PDQ=∠EDF.
∴∠EDP=∠FDQ. 　　在△EDP和△FDQ中， 　　{∠EDP=∠FDQ,DP=DQ,∠EPD=∠FQD,
∴△EDP≌△FDQ.
∴DE=DF.
(3)BE+CF=$\frac{1}{2}$AB或BE−CF = $\frac{1}{2}$AB.
(4)BE+CF=5$\sqrt{3}$