《2026年全品中考复习方案数学北师大版》

例2 思维能力 一题多变 如图W12-5，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90°$，$AB = 6$，$BC = 8$，$P$为$\triangle ABC$内部一动点，且$\angle PAB = \angle PBC$，连接$CP$，则$CP$的最小值为$\sqrt{73}-3$。
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答案： 例2 $\sqrt{73}-3$

变式1 如图W12-6，在等腰直角三角形$ABC$中，$\angle ABC = 90°$，$AB = BC = 2$，$P$为等腰直角三角形$ABC$所在平面内一点，且满足$PA \perp PB$，连接$PC$，则$PC$的取值范围为$\sqrt{5}-1\leq PC\leq\sqrt{5}+1$。
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答案： 变式1 $\sqrt{5}-1\leq PC\leq\sqrt{5}+1$

变式2 如图W12-7，$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90°$，$AC = 2\sqrt{3}$，$BC = 3$。$P$为$\triangle ABC$内一点，且满足$PA^2 + PC^2 = AC^2$。当$PB$的长度最小时，$\triangle ACP$的面积是$\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
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答案： 变式2 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

变式3 如图W12-8，正方形$ABCD$的边长为$6$，动点$E,F$分别从点$B,C$同时出发，以相同速度向各自终点$A,B$移动，连接$CE,DF$交于点$P$，连接$BP$，则$BP$的最小值为$3\sqrt{5}-3$。
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答案： 变式3 $3\sqrt{5}-3$

例3 如图W12-9，某园林单位要在一个绿化带内开挖一个$\triangle ABC$的工作面，使得$\angle ACB = 60°$，$CD$是$AB$边上的高，且$CD = 6$，则$\triangle ABC$面积的最小值是$12\sqrt{3}$。
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答案： 例3 $12\sqrt{3}$

变式1 在$\triangle ABC$中，$AB = 4$，$\angle C = 60°$，$\angle A ＞ \angle B$，则$BC$长的取值范围是。

答案： 变式1 $4＜BC\leq\frac{8\sqrt{3}}{3}$

变式2 如图W12-10，在边长为$6$的等边三角形$ABC$中，$E,F$分别是边$AC,BC$上的动点，且$AE = CF$，连接$BE,AF$交于点$P$，连接$CP$，则$CP$的最小值为$2\sqrt{3}$。
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答案： 变式2 $2\sqrt{3}$

例4 如图W12-11，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle CBA = 90°$，$AB = 6$，$BC = 8$，$O$为$AC$中点，$E$为边$AB$上一动点。若点$F$在边$BC$上且$OE \perp OF$，则$EF$的最小值为5。
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答案： 5

变式 如图W12-12，等边三角形$ABC$中，$AB = 6$，$P$为$AB$边上一动点，$PD \perp BC$，$PE \perp AC$，垂足分别为$D,E$，则$DE$的最小值为$\frac{9}{2}$。
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答案： 变式 $\frac{9}{2}$

1. 如图W12-13，$O$为线段$BC$的中点，点$A,C,D$到点$O$的距离相等。若$\angle ABC = 40°$，则$\angle ADC$的度数是(B)
 

A.$130°$
B.$140°$
C.$150°$
D.$160°$

答案： 1 B