《2026年全品中考复习方案数学北师大版》

1. 如图 W10 - 2，$\triangle ABC$ 是等边三角形，$AB = 6$。点 $D$，$E$ 分别在边 $BC$和 $AC$ 上，且 $\angle ADE = 60^{\circ}$，$BD = 2$，则 $CE$ 的长为$\frac{4}{3}$。

答案： $\frac{4}{3}$

变式 如图 W10 - 3，$D$ 是等边三角形 $ABC$ 边 $AB$上的一点，且 $AD:BD = 1:2$，现将 $\triangle ABC$折叠，使点 $C$ 与点 $D$ 重合，折痕为 $EF$，点$E$，$F$ 分别在 $AC$ 和 $BC$ 上，则 $CE:CF =$(B)

A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{5}{6}$
D.$\frac{6}{7}$

答案： B

2. 如图 W10 - 4，$E$ 为线段 $BC$上一点，$\angle ABE = \angle AED = \angle ECD = 90^{\circ}$，$AE =$ $ED$，$BC = 20$，$AB = 8$，则 $BE$ 的长度为(A)

A.$12$
B.$10$
C.$8$
D.$6$

答案： A

变式 1 如图 W10 - 5，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，直线 $DE$与 $\odot O$ 相切于点 $C$，过点 $A$，$B$ 分别作 $AD\perp$ $DE$，$BE\perp DE$，垂足为 $D$，$E$，连接 $AC$，$BC$。若 $AD = \sqrt{3}$，$CE = 3$，则 $\overset{\frown}{AC}$ 的长为(D)

A.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}\pi$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}\pi$
D.$\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$

答案： D

变式 2 一块三角尺 $ABC$ 按如图 W10 - 6 放置，顶点 $A$ 的坐标为 $(0,1)$，直角顶点 $C$ 的坐标为 $( - 3,0)$，$\angle B = 30^{\circ}$，则点$B$ 的坐标为(−3−$\sqrt{3}$,3$\sqrt{3}$)。

答案： (−3−$\sqrt{3}$,3$\sqrt{3}$)

3. 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB =$ $AC$，直线 $l$ 经过点 $A$，过点 $B$，$C$ 分别作 $l$ 的垂线，垂足分别为 $D$，$E$。
(1)特例体验：如图 W10 - 7①，若直线 $l//$ $BC$，$AB = AC = \sqrt{2}$，分别求出线段 $BD$，$CE$和 $DE$ 的长。
(2)规律探究：
(Ⅰ)如图②，若直线 $l$ 从图①状态开始绕点 $A$ 顺时针旋转 $\alpha(0^{\circ}\lt\alpha\lt45^{\circ})$，请探究线段$BD$，$CE$ 和 $DE$ 的数量关系，并说明理由；
(Ⅱ)如图③，若直线 $l$ 从图①状态开始绕点 $A$ 顺时针旋转 $\alpha(45^{\circ}\lt\alpha\lt90^{\circ})$，与线段 $BC$相交于点 $H$，请再探究线段 $BD$，$CE$ 和 $DE$的数量关系，并说明理由。
(3)尝试应用：在图③中，延长线段 $BD$ 交线段 $AC$ 于点 $F$，若 $CE = 3$，$DE = 1$，求 $S_{\triangle BFC}$。

答案： 解:　
(1)在△ABC中，
∵∠BAC = 90°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°.
∵直线 l//BC,
∴∠DAB=∠ABC=45°,∠CAE = ∠ACB=45°.
∴∠ABD=∠DAB=45°,∠ACE = ∠EAC=45°.
∴AD=BD,AE=CE.
∵AB=AC=$\sqrt{2}$,
∴AD=BD=AE=CE=1.
∴DE=2. 　
(2)(Ⅰ)DE=BD+CE. 理由如下：在Rt△ADB中,∠ABD+∠BAD = 90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°.
∴∠ABD=∠CAE. 　　在△ABD和△CAE中， 　　{∠ABD=∠CAE,∠BDA=∠AEC=90°,AB=CA,
∴△ABD≌△CAE(AAS).
∴CE=AD,BD=AE.
∴DE=AE+AD=BD+CE. 　(Ⅱ)DE=BD−CE. 理由如下： 　　同(Ⅰ)可证△ABD≌△CAE,
∴CE=AD,BD=AE.
∴DE=AE−AD=BD−CE. 　
(3)
∵∠BAC=∠ADB=90°,∠ABD = ∠FBA,
∴△ABD∽△FBA.
∴AB:FB=BD:AB.
∵CE=3,DE=1,
∴AD=CE=3,AE=BD=4.
∴AB = $\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}$ = 5.
∴BF = $\frac{25}{4}$.
∴S△BFC = S△ABC - S△ABF = $\frac{1}{2}$×5² - $\frac{1}{2}$×3×$\frac{25}{4}$ = $\frac{25}{8}$.