《2026年全品中考复习方案数学北师大版》

1. 如图 26-5，$AB$，$AC$ 是 $\odot O$ 的切线，$B$，$C$ 为切点，$D$ 是 $\odot O$ 上一点，连接 $BD$，$CD$. 若 $\angle BDC = 60°$，$AB = 3$，则 $\odot O$ 的半径为 (D)

A.$1.5$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{3}$

答案： 1.D

2. (2025 聊城一模) 如图 26-6，$AB$ 为 $\odot O$ 的直径，$C$，$D$ 为圆上不同于 $A$，$B$ 的两点，$\angle ABD = 2\angle BAC$，连接 $CD$，

过

点 $C$ 作 $\odot O$ 的切线分别交 $DB$，$AB$ 的延长线于点 $E$，$F$.
(1) 求证：$CF \perp DE$；
(2) 当 $BD = \frac{12}{5}$，$\odot O$ 的半径为 $2$ 时，求 $\sin F$ 的值.

答案： 2.　
(1)证明:连接OC.
∵CF为⊙O的切线，
∴OC⊥CF.
∵∠ABD=2∠BAC，∠BOC=2∠BAC，
∴∠ABD=∠BOC，
∴OC//BD，
∴CF⊥DE.
(2)$\frac{3}{5}$

例 4 思维能力一题多变 (2025 绵阳涪城区三模) 如图 26-7，在 $Rt \triangle ABC$ 中，$\angle C = 90°$，$AC = 8$，$AB = 10$，$I$ 为 $\triangle ABC$ 的内心，$ID \perp AB$ 于点 $D$，则 $ID$ 的长为 (A)

A.$2$
B.$1$
C.$3$
D.$\sqrt{5}$

答案： 例4　A

变式 如图 26-8，$O$ 是 $\triangle ABC$ 的内心，$D$ 是 $BC$ 的中点，连接 $OC$，$OD$，若 $\angle A = 2\angle O = 120°$，$OD = 1$，则 $BC$ 的长为2$\sqrt{13}$.

答案： 变式　2$\sqrt{13}$

例 5 如图 26-9，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$AC$，$CD$ 是 $\odot O$ 的弦，$CD \perp AB$，垂足为 $E$，连接 $BD$ 并延长，与过点 $A$ 的直线 $AM$ 相交于点 $P$，且 $\angle CAB = \angle APB$.
(1) 求证：$AM$ 是 $\odot O$ 的切线；
(2) 若 $\odot O$ 的半径为 $5$，$AC = 8$，求线段 $PD$ 的长.

答案： 例5　
(1)证明:由圆周角定理的推论得∠CAB=∠CDB.
又
∵∠CAB=∠APB，
∴∠CDB=∠APB，
∴AM//CD.
又
∵CD⊥AB，
∴AB⊥AM.
又
∵OA是⊙O的半径，
∴AM是⊙O的切线.
(2)$\frac{32}{3}$