《2026年全品中考复习方案数学北师大版》

例 4 阅读理解：对于$x^{3}-(n^{2}+1)x + n$这类特殊的代数式，可以按下面的方法分解因式：
$x^{3}-(n^{2}+1)x + n = x^{3}-n^{2}x - x + n = x(x^{2}-n^{2})-(x - n) = x(x - n)(x + n)-(x - n) = (x - n)(x^{2}+nx - 1)$.
理解运用：如果$x^{3}-(n^{2}+1)x + n = 0$，那么$(x - n)(x^{2}+nx - 1) = 0$，即有$x - n = 0$或$x^{2}+nx - 1 = 0$，因此，方程$x - n = 0$和$x^{2}+nx - 1 = 0$的所有解就是方程$x^{3}-(n^{2}+1)x + n = 0$的解.
解决问题：方程$x^{3}-5x + 2 = 0$的解为x = 2或$x = -1 + \sqrt{2}$或$x = -1 - \sqrt{2}$.

答案： $x = 2$或$x = -1 + \sqrt{2}$或$x = -1 - \sqrt{2}$

（2024 滨州）【教材呈现】现行人教版九年级下册数学教材 85 页“拓广探索”第 14 题：
14. 如图 T5-2，在锐角$\triangle ABC$中，探究$\frac{a}{\sin A}$，$\frac{b}{\sin B}$，$\frac{c}{\sin C}$之间的关系.（提示：分别作$AB$和$BC$边上的高.）
【得出结论】$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$.
【基础应用】在$\triangle ABC$中，$\angle B = 75^{\circ}$，$\angle C = 45^{\circ}$，$BC = 2$，利用以上结论求$AB$的长.
【推广证明】进一步研究发现，$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$（$R$为$\triangle ABC$外接圆的半径）.
请利用图 T5-3 ① 证明：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$.
【拓展应用】
如图②，在四边形$ABCD$中，$AB = 2$，$BC = 3$，$CD = 4$，$\angle B = \angle C = 90^{\circ}$. 求过$A$，$B$，$D$三点的圆的半径.

答案：
解:　【基础应用】
$\because \angle B = 75^{\circ}$，$\angle C = 45^{\circ}$，
$\therefore \angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle C = 60^{\circ}$.
$\because \frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$，$\therefore \frac{2}{\sin 60^{\circ}}=\frac{AB}{\sin 45^{\circ}}$，
即$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，解得$AB = \frac{2\sqrt{6}}{3}$.
【推广证明】
证明:过点$A$作$AD \perp BC$于点$D$，过点$C$作$CE \perp AB$于点$E$，连接$AO$并延长，交$\odot O$于点$F$，连接$CF$，如图①所示.
$\because \frac{a · AD}{2}=\frac{c · CE}{2}$，
$\therefore a · c\sin B = c · b\sin\angle BAC$，
$\therefore \frac{a}{\sin\angle BAC}=\frac{b}{\sin B}$
同理可证，$\frac{a}{\sin\angle BAC}=\frac{c}{\sin\angle ACB}$
$\therefore \frac{a}{\sin\angle BAC}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin\angle ACB}$
$\because AF$是$\odot O$的直径，
$\therefore \angle ACF = 90^{\circ}$.
$\because \angle B = \angle AFC$，
$\therefore \sin B = \sin\angle AFC = \frac{b}{AF}=\frac{b}{2R}$，
$\therefore \frac{b}{\sin B}=2R$，
答022　全品中考复习方案　数学

$\therefore \frac{a}{\sin\angle BAC}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin\angle ACB}=2R$.
【拓展应用】
连接$DB$，如图②所示.
$\because BC = 3$，$CD = 4$，$\angle C = 90^{\circ}$，
$\therefore BD = \sqrt{BC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，
$\therefore \sin\angle BDC = \frac{BC}{BD}=\frac{3}{5}$.
$\because \angle ABC = \angle C = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC + \angle C = 180^{\circ}$，
$\therefore AB // CD$，$\therefore \angle ABD = \angle BDC$，
$\therefore \sin\angle ABD = \frac{3}{5}$.
过点$A$作$AE \perp CD$于点$E$，则四边形$ABCE$是矩形，
$\therefore CE = AB = 2$，$AE = BC = 3$，
$\therefore DE = CD - CE = 4 - 2 = 2$，
$\therefore AD = \sqrt{AE^{2}+DE^{2}}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}$，
$\therefore \frac{AD}{\sin\angle ABD}=\frac{\sqrt{13}}{\frac{3}{5}}=\frac{5\sqrt{13}}{3}$
$\therefore$过$A$，$B$，$D$三点的圆的半径为$\frac{5\sqrt{13}}{6}$.