《2026年全品中考复习方案数学北师大版》

变式探究 2 继续改变动点$D$的位置
如图 T4-10，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$D$是$BC$延长线上的一点，$DE \perp AB$于点$E$，$DF \perp AC$，交$AC$的延长线于点$F$，$CG \perp AB$于点$G$，则线段$CG$，$DE$，$DF$三者之间的数量关系是DE = CG + DF，请说明理由.

答案：
解：DE = CG + DF
理由如下：
如图，过点C作CH⊥DE于点H.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠HDC + ∠B = 90°，∠FDC + ∠DCF = 90°.
∵AB = AC，
∴∠B = ∠ACB.
又
∵∠ACB = ∠DCF，
∴∠B = ∠DCF.
∴∠HDC = ∠FDC.
∵CH⊥DE，
∴∠DHC = 90° = ∠F.
又
∵DC = DC，
∴△DFC≌△DHC(AAS).
∴DF = DH.
∵DE⊥AB，CG⊥AB，CH⊥DE，
∴∠GED = ∠CGA = ∠CHE = 90°.
∴四边形CHEG是矩形.
∴CG = EH.
∴DE = EH + DH = CG + DF.

如图 T4-11，$\triangle ABC$的面积为24，$AB = AC = 8$，$D$为$BC$边上一点，过点$D$分别作$DE \perp AB$于点$E$，$DF \perp AC$于点$F$.若$DF = 2DE$，则$DF$的长为4.

答案： 4

(2023 西藏)如图 T4-12，在矩形$ABCD$中，$AC$和$BD$相交于点$O$，$AD = 3$，$AB = 4$，$E$是$CD$边上一点，过点$E$作$EH \perp BD$于点$H$，$EG \perp AC$于点$G$，则$EH + EG$的值是
(A)

A.2.4
B.2.5
C.3
D.4

答案： A

变式探究 5 将基本图形放到正方形中
如图 T4-13，在边长为$a$的正方形$ABCD$中，$E$是对角线$BD$上一点，且$BE = BC$，$P$是$CE$上一点，则点$P$到$BD$，$BC$的距离之和$PM + PN$的值
(D)

A.有最大值$a$
B.是定值$a$
C.有最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}a$
D.是定值$\frac{\sqrt{2}}{2}a$

答案： D