《2026年全品中考复习方案数学北师大版》

例2 如图W14-5，在正方形$ABCD$中，$AB=8$，$AC$与$BD$交于点$O$，$N$是$AO$的中点，点$M$在$BC$边上，且$BM=6.P$为对角线$BD$上一点，则$PM-PN$的最大值为2.

答案： 例2 2

变式 如图W14-6，在菱形$ABCD$中，$\angle ABC=120°$，对角线$AC$，$BD$交于点$O$，$BD=4$，$E$为$OD$的中点，$F$为$AB$上一点，且$AF=3BF$，$P$为$AC$上一动点，连接$PE$，$PF$，则$PF-PE$的最大值为1.

答案： 变式 1

例3 如图W14-8，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC=45°$，$P$为$AC$上一定点，$BP=6$，$D$，$E$分别是$AB$，$BC$上的动点，连接$DP$，$EP$，$DE$，求$\triangle DEP$周长的最小值.

答案：
例3 解：如图，分别作点 $P$ 关于 $AB$，$BC$ 的对称点 $P'$，$P''$，连接 $P'D$，$P''E$，$P'B$，$P''B$，$P'P''$，
由对称的性质可得 $P'D = PD$，$P''E = PE$，$PB = P'B = P''B = 6$，$\angle ABP = \angle ABP'$，$\angle CBP = \angle CBP''$，
$\therefore \triangle PDE$ 的周长为 $PD + DE + PE = P'D + DE + P''E \geq P'P''$，
$\therefore$ 当点 $P'$，$D$，$E$，$P''$ 四点共线时，$\triangle PDE$ 的周长最小.
$\because \angle ABC = 45°$，
$\therefore \angle P'BP'' = 2\angle ABP + 2\angle CBP = 2\angle ABC = 90°$，
$\therefore \triangle P'BP''$ 是等腰直角三角形，
$\therefore P'P'' = \sqrt{2}P'B = 6\sqrt{2}$，
$\therefore \triangle DEP$ 周长的最小值为 $6\sqrt{2}$.

变式 (2024绥化)如图W14-9，已知$\angle AOB=50°$，$P$为$\angle AOB$内部一点，$M$，$N$分别为射线$OA$，$OB$上的两个动点，当$\triangle PMN$的周长最小时，$\angle MPN=$$80°$.

答案： 变式 $80°$