《2026年全品中考复习方案数学北师大版》

例 1 已知一次函数$y = (1 - 2m)x + m + 1$.
(1)当$m$满足m = -1时，图象经过原点；
(2)当$m$满足$m ＞ \frac{1}{2}$时，图象经过第一、二、四象限，此时$y$值随$x$值的增大而减小；
(3)若点$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$在一次函数的图象上，且当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，则$m$的取值范围为$m ＞ \frac{1}{2}$.

答案： $(1)m = -1 (2)m ＞ \frac{1}{2} $减小$ (3)m ＞ \frac{1}{2}$

思考
(1)一次函数$y = kx + b$中，$k$和$b$与函数的增减性、图象等有什么关系？
在图 9-1 中画一画函数$y = kx + 1(k\neq0)$和$y = x + b$的图象，比较一下不同的$k$值（或$b$值）对应的函数图象的关系.
(2)$k$决定一次函数的增减性，$b$决定一次函数图象与$y$轴交点的位置.

答案： 1. 对于一次函数$y = kx + b$：
当$k\gt0$时：
函数$y = kx + b$的图象从左到右上升，$y$随$x$的增大而增大。
对于$y = kx + 1$，$b = 1$，图象都经过点$(0,1)$，$k$值越大，图象越靠近$y$轴（例如$y = 2x+1$与$y=\frac{1}{2}x + 1$，$y = 2x + 1$的图象比$y=\frac{1}{2}x + 1$的图象更靠近$y$轴）。
当$k\lt0$时：
函数$y = kx + b$的图象从左到右下降，$y$随$x$的增大而减小。
对于$y = kx + 1$，$b = 1$，图象都经过点$(0,1)$，$\vert k\vert$值越大，图象越靠近$y$轴（例如$y=-2x + 1$与$y =-\frac{1}{2}x+1$，$y=-2x + 1$的图象比$y =-\frac{1}{2}x + 1$的图象更靠近$y$轴）。
对于$y=x + b$：
因为$k = 1\gt0$，$y$随$x$的增大而增大。
当$b\gt0$时，图象与$y$轴正半轴相交（例如$y=x + 2$，图象过$(0,2)$）；当$b = 0$时，$y=x$的图象过原点；当$b\lt0$时，图象与$y$轴负半轴相交（例如$y=x-2$，图象过$(0,-2)$）。
2. 总结：
$k$的正负决定一次函数的增减性（$k\gt0$，$y$随$x$增大而增大；$k\lt0$，$y$随$x$增大而减小），$\vert k\vert$的大小影响图象的“陡峭”程度（$\vert k\vert$越大，图象越“陡峭”）。
$b$的值决定一次函数$y = kx + b$的图象与$y$轴交点的坐标$(0,b)$，当$b\gt0$时，交点在$y$轴正半轴；当$b = 0$时，图象过原点；当$b\lt0$时，交点在$y$轴负半轴。

1.(2023 临沂)对于某个一次函数$y = kx + b(k\neq0)$，根据图 9-2 所示两位同学的对话得出的结论，错误的是(C)

A.$k＞0$
B.$kb＜0$
C.$k + b＞0$
D.$k =-\frac{1}{2}b$

答案： 1. C

例 2 思维能力 一题多变 一次函数$y = kx + b$的图象经过点$(1,1)$，$(2,4)$，求该一次函数的表达式.

答案： 例2 y = 3x - 2

变式 1
(1)将函数$y = 3x - 2$的图象向上平移$3$个单位长度，则平移后的直线所对应的函数表达式为y = 3x + 1.

答案： 变式1
(1)y = 3x + 1 

(2)(2025 德阳模拟)在平面直角坐标系中，将正比例函数$y = -2x$的图象向右平移$3$个单位长度得到一次函数$y = kx + b$的图象，则该一次函数的表达式为(B)
A.$y = -2x + 3$
B.$y = -2x + 6$
C.$y = -2x - 3$
D.$y = -2x - 6$

答案：  
(2)B

变式 2 (2024 陕西)一个正比例函数的图象经过点$A(2,m)$和点$B(n,-6)$. 若点$A$与点$B$关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为(A)

A.$y = 3x$
B.$y = -3x$
C.$y=\frac{1}{3}x$
D.$y =-\frac{1}{3}x$

答案： 变式2 A