《2026年全品中考复习方案数学北师大版》

例 2 如图 W16-4，点$P(3,4)$，圆 P 的半径为 2，$A(2.8,0)$，$B(5.6,0)$，M 是圆 P 上的动点，C 是 MB 的中点，求 AC 的最小值.

答案：
例2 解：由题意可知$M$点为主动点，$C$点为从动点，$B$点为定点.
连接$BP$，由$C$是$BM$的中点，可知$C$点轨迹为(取$BP$的中点$F$，连接$CF$)以$F$为圆心，$FC = 1$为半径的圆，如图所示.

连接$OP$，由题中数据可知$OP = 5$.
$\because A,F$分别是$OB,BP$的中点，
$\therefore AF$是$\triangle BPO$的中位线.
$\therefore AF = 2.5$.
当点$M$运动到$O,M,P$三点共线且点$M$在$O,P$之间时，$AC$的值最小，此时$A,C,F$三点共线，$\therefore AC = 2.5 - 1 = 1.5$.

例 3 已知：在正方形 ABCD 中，$AB = 4$，点 E 在边 AB 上，且$BE = 1$，以点 B 为圆心，BE 长为半径画$\odot B$，点 P 在$\odot B$上移动，连接 AP.
(1) 如图 W16-5①，在点 P 移动过程中，AP 长度的最小值是3 ；
(2) 如图②，将 AP 绕点 A 逆时针旋转$90^{\circ}$至$AP'$，连接$BP'$，在点 P 移动过程中，$BP'$长度的最小值是$4\sqrt{2}-1$ .

答案： 例3
(1)3
(2)$4\sqrt{2}-1$

1. 如图 W16-6，$\odot O$的直径$AB = 4$，P 为$\odot O$上的动点，连接 AP，Q 为 AP 的中点，若点 P 在圆上运动一周，则点 Q 经过的路径长是$2\pi$ .

答案： 1. $2\pi$
 

变式 如图 W16-7，在等腰直角三角形 ABC 中，$AC = BC = 2\sqrt{2}$，点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆上，M 为 PC 的中点，当点 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长为$\pi$ .
 

答案： 变式 $\pi$