《2026年全品中考复习方案数学北师大版》

1.(2023 杭州)已知二次函数$y = a(x - m)(x - m - k)(a＞0,m,k$是实数)，则 (A)

A.当$k = 2$时，函数$y$的最小值为$-a$
B.当$k = 2$时，函数$y$的最小值为$-2a$
C.当$k = 4$时，函数$y$的最小值为$-a$
D.当$k = 4$时，函数$y$的最小值为$-2a$

答案： 1. A

2. 填空：
(1)抛物线$y = ax^{2}-4ax + 4a + 2(a\neq0)$恒过定点(2,2)；
(2)抛物线$y = ax^{2}-ax - 2a + 2(a\neq0)$恒过定点(2,2)和(-1,2).

答案： 2.
(1)$(2,2)$　
(2)$(2,2)$和$(-1,2)$

3. 已知$x$轴上两点$C(2,0)$，$D(5,0)$，若抛物线$y = mx^{2}-8mx + 16m - 1(m＞0)$与线段 CD 有交点，则$m$的取值范围是$m\geqslant\frac{1}{4}$.

答案： 3. $m\geqslant\frac{1}{4}$

4.(2023 无锡)对于二次函数$y = x^{2}+(2m - 1)x + 2m(m\neq\frac{1}{2})$，有下列结论：
①该函数的图象过定点$(-1,2)$；
②当$m = 1$时，该函数的图象与$x$轴无交点；
③该函数图象的对称轴不可能在$y$轴的右侧；
④当$1＜m＜\frac{3}{2}$时，$P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$是该函数图象上两点，若$-3＜x_1＜-2$，$-\frac{1}{2}＜x_2＜0$，则$y_1＞y_2$.
其中，正确结论的序号为①②④.

答案： 4. ①②④

5. 在平面直角坐标系中，点$C$和点$D$的坐标分别为$(-1,-1)$和$(4,-1)$，抛物线$y = mx^{2}-2mx + 2(m\neq0)$与线段 CD 只有一个公共点，则$m$的取值范围是$m = 3$或$-1＜m\leqslant-\frac{3}{8}$.

答案： 5. $m = 3$或$-1＜m\leqslant-\frac{3}{8}$

6. 已知抛物线$y = ax^{2}-2ax - 3a(a＞0)$与$x$轴交于$A$，$B$两点，点$A$在点$B$的左侧.
(1)请求出抛物线的对称轴和点$A$，$B$的坐标；
(2)已知点$M(-1,1)$，$N(4,6a - 2)$，且抛物线与线段$MN$只有一个公共点，请求出$a$的取值范围.

答案：
6. 解:
(1)$\because y=ax^{2}-2ax-3a$，$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$.
$\because y=ax^{2}-2ax-3a=a(x - 3)(x + 1)$，令$y = 0$，则$a(x - 3)(x + 1)=0$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$.
又$\because$点$A$在点$B$的左侧，$\therefore$抛物线与$x$轴的交点分别为$A(-1,0)$，$B(3,0)$.
(2)如图：
　　　　
$\because$抛物线经过点$(-1,0)$，$\therefore$点$M(-1,1)$在抛物线内部.
当点$N$在抛物线上或抛物线外部时，抛物线与线段$MN$只有一个公共点，将$x = 4$代入$y=ax^{2}-2ax-3a$，得$y = 16a-8a-3a = 5a$，$\therefore6a-2\leqslant 5a$，解得$a\leqslant 2$.
$\therefore a$的取值范围为$0＜a\leqslant 2$.

7. 已知二次函数$y = mx^{2}-x + 1$.
(1)若函数$y = mx^{2}-x + 1$的图象与直线$y = 2$只有一个交点，求$m$的值；
(2)已知点$A(-1,0)$，$B(1,1)$，若二次函数$y = mx^{2}-x + 1$的图象与线段$AB$有两个不同的交点，直接写出$m$的取值范围.

答案： 7. 解:
(1)在$y=mx^{2}-x + 1$中，令$y = 2$，得$mx^{2}-x + 1 = 2$，即$mx^{2}-x - 1 = 0$.
$\because$函数$y=mx^{2}-x + 1$的图象与直线$y = 2$只有一个交点，$\therefore$方程$mx^{2}-x - 1 = 0$有两个相等的实数根.
$\therefore\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4m×(-1)=0$，解得$m=-\frac{1}{4}$.
故当$m=-\frac{1}{4}$时，函数$y=mx^{2}-x + 1$的图象与直线$y = 2$只有一个交点.
(2)$m$的取值范围为$m\leqslant - 2$或$1\leqslant m＜\frac{9}{8}$.