《2026年全品中考复习方案数学北师大版》

变式(2024 烟台) 在等腰直角三角形$ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，$D$为直线$BC$上任意一点，连接$AD$. 将线段$AD$绕点$D$按顺时针方向旋转$90^{\circ}$得到线段$ED$，连接$BE$.
【尝试发现】
(1) 如图W9-6，当点$D$在线段$BC$上时，线段$BE$与$CD$的数量关系为$BE = \sqrt{2}CD$；
【类比探究】
(2) 当点$D$在线段$BC$的延长线上时，先在图W9-7中补全图形，再探究线段$BE$与$CD$的数量关系并证明；
【联系拓广】
(3) 若$AC = BC = 1$，$CD = 2$，请直接写出$\sin \angle ECD$的值.

答案：
变式 解：（1）$BE = \sqrt{2}CD$
（2）补全图形如图.

$BE = \sqrt{2}ME = \sqrt{2}CD.$
证明：如图，过点E作EM⊥BC于点M.由旋转的性质，得AD = DE,∠ADE = 90°,
$\therefore\angle ADC + \angle MDE = 90^{\circ}.$
$\because\angle ACB = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle ACD = 90^{\circ} = \angle DME$，
$\therefore\angle ADC + \angle CAD = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle CAD = \angle MDE$，
$\therefore\triangle ACD \cong \triangle DME(AAS)$，
$\therefore CD = ME,AC = DM.$
$\because AC = BC,\therefore DM = BC$，
$\therefore CD = BM$，
$\therefore BM = ME$，
$\therefore BE = \sqrt{2}ME = \sqrt{2}CD.$
（3）$\sin\angle ECD$的值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{13}}{13}$