《2026年全品中考复习方案数学北师大版》

变式【问题情境】
(1)如图 W8-5①，在正方形$ABCD$中，$E$，$F$，$G$分别是$BC$，$AB$，$CD$上的点，$FG\bot AE$于点$Q$，求证：$AE = FG$；
【尝试应用】
(2)如图②，在正方形网格中，点$A$，$B$，$C$，$D$为格点，$AB$交$CD$于点$O$，求$\sin\angle AOC$的值.

答案：
变式　解:
(1)证明:过点$F$作$FH// BC$，交$AE$于点$K$，交$CD$于点$H$，如图①.
易得四边形$BCHF$是矩形，$\angle AKF=\angle AEB$，$\angle FHG=\angle C$，
$\therefore FH=BC$.
$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB=BC$，$\angle ABE=\angle C=90^{\circ}$，
$\therefore AB=FH$，$\angle ABE=\angle FHG$.
$\because FG\perp AE$，$\therefore \angle HFG+\angle AKF=90^{\circ}$.又$\because \angle AEB+\angle BAE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAE=\angle HFG$.
在$\triangle ABE$和$\triangle FHG$中，
$\begin{cases}\angle BAE=\angle HFG,\\AB=FH,\\\angle ABE=\angle FHG.\end{cases}$
$\therefore \triangle ABE\cong \triangle FHG(ASA)$，
$\therefore AE=FG$.
　　 　　　
(2)如图②，将线段$AB$向右平移至$ED$处，点$A$，$B$的对应点分别是点$E$，$D$，连接$CE$，
则$\angle AOC=\angle EDC$.
设小正方形的边长均为$1$.
根据勾股定理，得$CE=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$CD=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$DE=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
$\because (\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=5^2$，
$\therefore CE^2+CD^2=DE^2$，
$\therefore \angle ECD=90^{\circ}$，
$\therefore \sin\angle AOC=\sin\angle EDC=\frac{CE}{DE}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

例3 如图 W8-6，正方形$ABCD$的边长为$4$，$E$，$F$分别是$BC$，$CD$上的动点，且$BE = CF$，连接$AE$，$BF$，两线相交于点$P$，连接$CP$，则$CP$的最小值是 (A)

A.$2\sqrt{5}-2$
B.$3\sqrt{2}-2$
C.$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}+2$

答案： 例3　A

变式($2025$鞍山铁东区模拟)如 图 W8-7，在正方形$ABCD$中，$AB = 4$，$E$，$F$分别为边$AD$，$CD$上的点，且满足$AE = DF$，$AF$，$BE$相交于点$G$，连接$BF$，$H$为$BF$的中点，连接$GH$，则$GH+\frac{1}{2}AF$的最小值是 (D)

A.$3$
B.$4$
C.$4\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{5}$

答案： 变式　D