《2026年全品中考复习方案数学北师大版》

变式探究 6 面积问题中的方程和函数角度
(2024 湖北)如图 T4-7，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为42m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗.设矩形试验田与墙垂直的一边长为$x$(单位：m)，与墙平行的一边长为$y$(单位：m)，面积为$S$(单位：$m^2$).
(1)直接写出$y$与$x$，$S$与$x$之间的函数表达式(不要求写$x$的取值范围).
(2)矩形试验田的面积$S$能达到$750 m^2$吗？如果能，求$x$的值；如果不能，请说明理由.
(3)当$x$的值是多少时，矩形试验田的面积$S$最大？最大面积是多少？

答案： 解：
(1)y与x之间的函数关系式为y = - 2x + 80，S与x之间的函数关系式为S = - 2x² + 80x.
(2)能.由题意，令S = 750，则 - 2x² + 80x = 750，
解得x₁ = 15，x₂ = 25.
当x = 15时，y = - 2×15 + 80 = 50＞42，不符合题意，舍去；
当x = 25时，y = - 2×25 + 80 = 30＜42，符合题意，
∴x的值为25.
(3)由题意，得0＜y≤42，
∴0＜ - 2x + 80≤42，解得19≤x＜40.
S = - 2x² + 80x = - 2(x - 20)² + 800.
∵ - 2＜0，19≤x＜40，
∴当x = 20时，S取得最大值，最大值为800.
答：当x的值是20时，矩形试验田的面积S最大，最大面积是800m².

[教材母题] 八下 P30 习题 1.9T2
如图 T4-8，在$\triangle ABC$中，$AD$是它的角平分线，且$BD = CD$，$DE \perp AB$，$DF \perp AC$，垂足分别为$E$，$F$.求证：$EB = FC$.

思考
(1)$\triangle ABC$的形状是；
(2)过点$C$作$CG \perp AB$于点$G$，则$DE$与$CG$的关系是.

答案： 1. 首先证明$EB = FC$：
因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DE = DF$。
在$Rt\triangle BDE$和$Rt\triangle CDF$中：
已知$BD = CD$（条件），$DE = DF$（已证）。
根据$HL$（斜边 - 直角边）定理：$\left\{\begin{array}{l}BD = CD\\DE = DF\end{array}\right.$，所以$Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle CDF$。
由全等三角形的对应边相等，可得$EB = FC$。
2. 然后分析$\triangle ABC$的形状：
因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线（$\angle BAD=\angle CAD$），且$BD = CD$，$AD = AD$。
根据$SAS$（边角边）定理：$\left\{\begin{array}{l}BD = CD\\\angle BAD=\angle CAD\\AD = AD\end{array}\right.$，所以$\triangle ABD\cong\triangle ACD$。
由全等三角形的对应边相等，可得$AB = AC$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
3. 最后分析$DE$与$CG$的关系：
因为$DE\perp AB$，$CG\perp AB$，所以$DE// CG$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）。
又因为$D$是$BC$中点（$BD = CD$），根据三角形中位线定理的推论：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边。
设$AD$与$CG$相交于点$H$，在$\triangle BCG$中，$D$是$BC$中点，$DE// CG$，所以$E$是$BG$中点，$DE=\frac{1}{2}CG$（三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）。
故答案依次为：
(1)等腰三角形；
(2)$DE// CG$且$DE=\frac{1}{2}CG$。

变式探究 1 改变动点$D$的位置及所求结论
如图 T4-9，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 4$，$D$是$BC$边上任意一点，$DE \perp AB$于点$E$，$DF \perp AC$于点$F$.若$\triangle ABC$的面积为6，则$DE + DF =$3.

答案： 3