《2026年全品中考复习方案数学北师大版》

例 4 思维能力一题多问 在$\triangle ABC$中，$AB = AC$.
(1)如图 18-5①，若$\triangle ABC$的周长为 16，一边长为 6，则$BC =$4或6；若$\triangle ABC$的一个内角为$70^{\circ}$，则$\angle B =$55°或70°$\mspace{2mu}^{\circ}$.
(2)如图②，$\angle BAC$的平分线交$BC$于点$D$，$E$为$AC$的中点.若$AB = 10$，则$DE$的长是 .
(3)如图③，$\angle BAC = 108^{\circ}$，$AC$的垂直平分线$DE$交$BC$于点$D$，交$AC$于点$E$，连接$AD$，则$\angle CAD =$36°，$\triangle ABD$是 （填“等腰”“等边”或“直角”）三角形.
(4)如图④，$CD$是$AB$边上的中线，延长$CB$到点$E$，使得$BE = BD$，连接$DE$.若$AB = 6$，$\angle A = 60^{\circ}$，则$DE$的长为$3\sqrt{3}$.

答案： 例4
(1)4或6 55°或70°
(2)5
(3)36° 等腰$ (4)3\sqrt{3}$

1. (2024 聊城阳谷县一模)如图 18-6，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 50^{\circ}$，$\angle ACB = 100^{\circ}$，$M$是射线$AB$上的一个动点，过点$M$作$MN // BC$交射线$AC$于点$N$，连接$BN$.若$\triangle BMN$中有两个角相等，则$\angle MNB$的度数不可能是(B)

A.$25^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$65^{\circ}$

答案： 1.B

2. (2024 重庆 B 卷)如图 18-7，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle A = 36^{\circ}$，$BD$平分$\angle ABC$交$AC$于点$D$.若$BC = 2$，则$AD$的长度为2.

答案： 2.2

3. 如图 18-8，在等腰三角形$ABC$中，$AB = AC$，点$D$在$BC$的延长线上，且$\angle B = 2\angle D$，$E$是线段$AD$上的动点（不与点$A$，$D$重合），连接$CE$.
(1)求证：$\triangle ACD$是等腰三角形；
(2)若$E$为$AD$的中点，$\angle B = 50^{\circ}$，求$\angle ACE$的度数；
(3)若$\triangle ECD$为等腰三角形，求$\angle ACE$与$\angle B$之间的数量关系.

答案： 3.
(1)证明：
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B.
又∠B=2∠D，
∴∠ACB=2∠D.
又∠ACB=∠D+∠CAD，
∴2∠D=∠D+∠CAD.
∴∠D=∠CAD.
∴CA=CD.
∴△ACD是等腰三角形.
(2)65°
$(3)∠ACE=90°-\frac{3}{4}∠B$或$∠ACE=180°-\frac{3}{2}∠B$

例 5 思维能力一题多问 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$D$是$AB$边上一点，连接$CD$.
(1)若$\triangle ABC$的两边长分别为 3，4，则$\triangle ABC$的周长为12或$7+\sqrt{7}$；
(2)如图 18-9①，若$CD$是$AB$边上的中线，$\angle B = 30^{\circ}$，$AC = 4$，则$CD =$4，$\angle ADC =$60°$\mspace{2mu}^{\circ}$；
(3)如图②，若$CD \perp AB$，$AC = 3$，$BC = 4$，则$CD =$$\frac{12}{5}$，$S_{\triangle BCD} =$$\frac{96}{25}$；
(4)如图③，若$BE$平分$\angle ABC$交$AC$于点$E$，$AC = 3$，$BC = 4$，则点$E$到$AB$的距离是$\frac{4}{3}$.

答案： 例5
(1)12或$7+\sqrt{7} (2)4 60°$
$(3)\frac{12}{5} \frac{96}{25} (4)\frac{4}{3}$