《2026年全品中考复习方案数学北师大版》

例 3（2025 淄博临淄区二模）如图 17-6，点 $B$，$F$，$C$，$E$ 都在直线 $l$ 上，$AC // DF$，$AB // DE$，$AB = DE$.
(1) 求证：$BF = CE$；
(2) 若 $\angle A = 100°$，$\angle DEF = 30°$，求 $\angle BFD$ 的度数.

答案：
(1)证明：$\because AC// DF$，
$\therefore \angle ACB=\angle DFE$.
$\because AB// DE$，$\therefore \angle ABC=\angle DEF$.
又$\because AB=DE$，
$\therefore \triangle ABC\cong\triangle DEF(AAS)$.$\therefore BC=EF$，
$\therefore BC - CF=EF - CF$，即$BF=CE$.
(2)$\angle BFD=130^{\circ}$

例 4 如图 17-8，$\triangle ABD$，$\triangle AEC$ 都是等边三角形.
求证：$BE = DC$.

答案： 证明：$\because \triangle ABD$，$\triangle AEC$都是等边三角形，
$\therefore AD=AB$，$AE=AC$，$\angle DAB=\angle CAE=60^{\circ}$.
$\because \angle DAC=\angle BAC + 60^{\circ}$，$\angle BAE=\angle BAC+60^{\circ}$，
$\therefore \angle DAC=\angle BAE$.
在$\triangle DAC$和$\triangle BAE$中，$\begin{cases}AD=AB,\\\angle DAC=\angle BAE,\\AC=AE,\end{cases}$
$\therefore \triangle DAC\cong\triangle BAE(SAS)$.$\therefore BE=DC$.

例 5 思维能力 一题多变 如图 17-10，在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 边的中点，过点 $D$ 的直线交 $AB$ 于点 $E$，交 $AC$ 的延长线于点 $F$，且 $BE = CF$. 求证：$AE = AF$.

答案：
证明：过点C作$CG// AB$交EF于点G，

$\therefore \angle AEF=\angle CGF$，$\angle B=\angle DCG$.
$\because D$是BC边的中点，$\therefore CD=BD$.
在$\triangle CDG$和$\triangle BDE$中，$\begin{cases}\angle DCG=\angle B,\\CD=BD,\\\angle CDG=\angle BDE,\end{cases}$
$\therefore \triangle CDG\cong\triangle BDE(ASA)$.$\therefore CG=BE$.
又$\because BE=CF$，$\therefore CF=CG$.
$\therefore \angle F=\angle CGF$.
$\therefore \angle F=\angle AEF$.
$\therefore AE=AF$.

变式(2024 枣庄)如图 17-11，$E$ 为 $□ ABCD$ 的对角线 $AC$ 上一点，$AC = 5$，$CE = 1$，连接 $DE$ 并延长至点 $F$，使得 $EF = DE$，连接 $BF$，则 $BF$ 的长为
(B)

A.$\frac{5}{2}$
B.$3$
C.$\frac{7}{2}$
D.$4$

答案： B