《2026年全品中考复习方案数学北师大版》

例 思维能力 一题多变 二次函数$y = x^{2} - 4x + 3$的最小值为-1.

答案： 例 -1

变式 1$x$的取值范围有限制(不包含顶点)
当$- 1 \leq x \leq 0$时，二次函数$y = x^{2} - 4x + 3$的最小值为3，最大值为8.

答案： 变式1 3 8

变式 2$x$的取值范围有限制(包含顶点)
当$1 \leq x \leq 5$时，二次函数$y = x^{2} - 4x + 3$的最小值为-1，最大值为8.

答案： 变式2 -1 8

变式 3$x$的取值范围含参数
当$a \leq x \leq a + 1$时，若二次函数$y = x^{2} - 4x + 3$的最小值为$0$，则$a$的值为0或3.

答案： 变式3 0或3

变式 4 函数表达式含参数
当$- 1 \leq x \leq 1$时，若二次函数$y = x^{2} - 4tx + 3$的最小值为$- 2$，则$t$的值为$-\frac{3}{2}$或$\frac{3}{2}$.
(如果变式 4 中已知函数的最大值，求$t$的值，你会求吗？类比练习做一做)

答案： 变式4 $-\frac{3}{2}$或$\frac{3}{2}$

1.(2024 乐山)已知二次函数$y = x^{2} - 2x( - 1 \leq x \leq t - 1)$，当$x = - 1$时，函数取得最大值；当$x = 1$时，函数取得最小值，则$t$的取值范围是 (C)

A.$0 ＜ t \leq 2$
B.$0 ＜ t \leq 4$
C.$2 \leq t \leq 4$
D.$t \geq 2$

答案： 1.C

2. 已知抛物线$y = ax^{2} + bx + 3(a \neq 0)$的对称轴为直线$x = 2$.
(1)求抛物线的顶点坐标；（用含$a$的代数式表示）
听 036 全品中考复习方案 数学
(2)若点$A(1,y_{1}),B(4,y_{2})$均在抛物线上，试比较$y_{1}$与$y_{2}$的大小；
(3)若$- 1 \leq x \leq 1$，与其对应的函数的最大值为$6b$，求$b$的值.

答案： 2.解：
(1)
∵抛物线的对称轴为直线$x = 2,\therefore -\frac{b}{2a}=2$,
$\therefore b = - 4a$,
$\therefore \frac{4ac - b^{2}}{4a}=\frac{12a - 16a^{2}}{4a}=3 - 4a$,
$\therefore$抛物线的顶点坐标为$(2,3 - 4a)$.
(2)①当$a ＞ 0$时,抛物线开口向上,抛物线上距其对称轴越远的点,纵坐标越大.
∵抛物线的对称轴为直线$x = 2,2 - 1 ＜ 4 - 2,\therefore y_{1} ＜ y_{2}$;
②当$a ＜ 0$时,抛物线开口向下,抛物线上距其对称轴越远的点,纵坐标越小.
∵抛物线的对称轴为直线$x = 2,2 - 1 ＜ 4 - 2,\therefore y_{1} ＞ y_{2}$.
(3)①当$a ＞ 0$时,在对称轴的左侧,$y$随$x$的增大而减小.
∵$- 1 \leq x \leq 1$,抛物线的对称轴为直线$x = 2$,
$\therefore$当$x = - 1$时,$y$取得最大值,为$a - b + 3$.
$\because b = - 4a,\therefore a = - \frac{b}{4}$,
$\therefore y_{最大}=a - b + 3 = - \frac{5}{4}b + 3 = 6b$,
解得$b = \frac{12}{29}$,
$\therefore a = - \frac{b}{4} = - \frac{3}{29}$,不符合题意,舍去;
②当$a ＜ 0$时,在对称轴的左侧,$y$随$x$的增大而增大.
∵$- 1 \leq x \leq 1$,抛物线的对称轴为直线$x = 2$,
$\therefore$当$x = 1$时,$y$取得最大值,为$a + b + 3$.
$\because b = - 4a,\therefore a = - \frac{b}{4} + 3 = \frac{3}{4} - \frac{3}{4}b = 6b$,
解得$b = \frac{4}{7}$,
$\therefore a = - \frac{b}{4} = - \frac{1}{7}$,符合题意.
综上,$b = \frac{4}{7}$.