《2026年全品中考复习方案数学北师大版》

例 思维能力 一题多解 如图 W6-1，在$\triangle ABC$中，$AD$是它的角平分线，求证：$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.

答案：
证明:　方法1如图①,过点D作DE//AB,交AC于点E.

∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1 = ∠2.
∵DE//AB，
∴∠1 = ∠3，$\frac{BD}{DC}=\frac{AE}{EC}$.
∴∠2 = ∠3.
∴AE = ED.
∴$\frac{BD}{DC}=\frac{ED}{EC}$
∵DE//AB，
∴△CED∽△CAB.
∴$\frac{ED}{AB}=\frac{EC}{AC}$，即$\frac{ED}{EC}=\frac{AB}{AC}$.
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$.
方法2:如图②,过点C作CE//DA,交BA 的延长线于点E.

∴∠2 = ∠3，∠1 = ∠E.
∵AD平分∠BAC，
∴∠1 = ∠2.
∴∠E = ∠3.
∴AE = AC.
∵CE//DA，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{BD}{DC}$.
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$.
方法3如图③,过点D分别作DE⊥AB 于点E，DF⊥AC于点F.

又
∵AD平分∠BAC，
∴DE = DF.
∵$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB· DE}{\frac{1}{2}AC· DF}=\frac{AB}{AC}$，
$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{\frac{1}{2}BD· h_{BC}}{\frac{1}{2}CD· h_{BC}}=\frac{BD}{CD}$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.

1. 如图 W6-2，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = 3$，$AC = 4$，$AD$平分$\angle BAC$交$BC$于点$D$，则$BD$的长为$\frac{15}{7}$.

答案： 1. $\frac{15}{7}$

2. 如图 W6-3，在$\triangle ABC$中，若$AB = 8$，$AC = 6$，$BC = 10$，$AE$和$BD$是$\triangle ABC$的角平分线，$AE$，$BD$相交于点$O$，则$\frac{BO}{OD}=$3，$BO$的长度为$2 \sqrt{10}$.

答案： 2. 3 $2 \sqrt{10}$

3. (2025 枣庄市中区二模)如图 W6-4，在$\triangle ABC$中，以点$A$，$B$为圆心，$AC$，$BC$的长为半径分别作弧交于点$C'$，连接$BC'$，$AC'$，$CC'$，在$C'B$上取点$M$，以点$C'$为圆心，$C'M$的长为半径作弧交$C'C$于点$N$，再分别以点$M$，$N$为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧交于一点，点$C'$与交点连线的直线交$BC$于点$P$，交$AB$于点$I$.若$BC = 2\sqrt{5}$，$CC' = 4$，则$BP$的长为(B)

A.$\frac{139}{5}$
B.$10\sqrt{5}-20$
C.$5\sqrt{5}+3$
D.$10$

答案： 3. B