《2026年全品中考复习方案数学北师大版》

例 1 已知抛物线$y = x^{2} - 2x - 3$.
(1)抛物线的开口向上，化为顶点式为$y=(x - 1)^2 - 4$.
(2)抛物线的对称轴为直线$x = 1$，顶点坐标为$(1, -4)$.
(3)抛物线与$y$轴的交点坐标是$(0, -3)$，与$x$轴的交点坐标是$(-1, 0)$,$(3, 0)$.
(4)在如图 12-1 所示的平面直角坐标系中画出函数$y = x^{2} - 2x - 3$的图象.
(5)观察图象可知，当$x$$＞ 1$时，$y$随$x$的增大而增大.
(6)抛物线上有$C(2,y_{1}),D(a,y_{2})$两点，若$a ＞ 2$，则$y_{1}$和$y_{2}$的大小关系为$y_2 ＞ y_1$；若$y_{1} ＜ y_{2}$，则$a$的取值范围为$a ＜ 0$或$a ＞ 2$.
(7)二次函数$y = x^{2} - 2x - 3$有最小值(填“大”或“小”)，为$-4$.

答案：

(1)上 $y=(x - 1)^2 - 4$
(2)$x = 1$ $(1, -4)$
(3)$(0, -3)$ $(-1, 0)$,$(3, 0)$
(4)
(5)$＞ 1$
(6)$y_2 ＞ y_1$ $a ＜ 0$或$a ＞ 2$
(7)小 $-4$

1. (2025 成都新都区模拟) 关于二次函数$y =$
$ax^{2} - 2ax - 3a$ ($a$是常数且$a ＞ 0$)，下列说法正确的是 (D)

A.函数图象开口向下
B.对称轴为直线$x = -1$
C.函数图象与$x$轴没有交点
D.在$y$轴左侧，$y$的值随$x$值的增大而减小

答案： 1. D

例 2 思维能力一题多变 如图 12-2，抛物线$y = ax^{2} + bx + c$的顶点为$D(1, -4)$，与$x$轴交于点$A(-1, 0), B(3, 0)$，与$y$轴交于点$C(0, -3)$. 请根据图象，回答下列问题：
(1)关于$x$的方程$ax^{2} + bx + c = 0$的根为$x_1 = -1$,$x_2 = 3$；
(2)关于$x$的方程$ax^{2} + bx + c = -3$的根为$x_1 = 0$,$x_2 = 2$；
(3)结合图象可知关于$x$的不等式$ax^{2} + bx + c ＜ 0$的解集是$-1 ＜ x ＜ 3$.

答案： 例2
(1)$x_1 = -1$,$x_2 = 3$
(2)$x_1 = 0$,$x_2 = 2$
(3)$-1 ＜ x ＜ 3$

变式 1 若方程$ax^{2} + bx + c = t$有实数根，则$t$的取值范围为$t \geqslant -4$.

答案： 变式1 $t \geqslant -4$

变式 2 若方程$ax^{2} + bx + c = t$在$0 ＜ x ＜ 3$的范围内有实数根，则$t$的取值范围为$-4 \leqslant t ＜ 0$.

答案： 变式2 $-4 \leqslant t ＜ 0$

拓展 1 方程$ax^{2} + bx + c = x - 3$的根为$x_1 = 0$,$x_2 = 3$；
不等式$ax^{2} + bx + c ＞ x - 3$的解集为$x ＜ 0$或$x ＞ 3$.

答案： 拓展1 $x_1 = 0$,$x_2 = 3$ $x ＜ 0$或$x ＞ 3$

拓展 2 方程$a(x - 1)^{2} + b(x - 1) + c = 0$的根为$x_1 = 0$,$x_2 = 4$.

答案： 拓展2 $x_1 = 0$,$x_2 = 4$

拓展 3 若$\vert ax^{2} + bx + c\vert = k$有四个不相等的实数根，则$k$的取值范围为$0 ＜ k ＜ 4$.

答案： 拓展3 $0 ＜ k ＜ 4$