《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

19. 已知直线$l:(m + 2)x + (1 - 2m)y + 4m - 2 = 0$与圆$C:x^{2} - 2x + y^{2} = 0$交于$M,N$两点.
(1)求$l$的斜率的取值范围；
(2)若$O$为坐标原点，直线$OM$与$ON$的斜率分别为$k_{1},k_{2}$，试问：$k_{1} + k_{2}$是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

答案： 19.
(1)$(-\infty,-\frac{3}{4})$
(2)$1$
解析
(1)由$(m+2)x+(1-2m)y+4m-2=0$，
可得$(2x+y-2)+m(x-2y+4)=0$。
由$\begin{cases}2x+y-2=0,\\x-2y+4=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=0,\\y=2,\end{cases}$
所以$l$恒过定点$(0,2)$。
故可设$l$的方程为$y-2=k(x-0)$，即$kx-y+2=0$。
由已知可得圆C的标准方程为$(x-1)^{2}+y^{2}=1$，
圆心为$C(1,0)$，半径$r=1$，
则由直线$l$与圆C相交，
可得$\frac{\vert k+2\vert}{\sqrt{k^{2}+1}}＜1$，解得$k＜-\frac{3}{4}$，
所以直线$l$的斜率的取值范围为$(-\infty,-\frac{3}{4})$。
(2)$k_{1}+k_{2}$是定值。联立$\begin{cases}y=kx+2,\\x^{2}-2x+y^{2}=0,\end{cases}$
整理得$(k^{2}+1)x^{2}+(4k-2)x+4=0$，
$\Delta=(4k-2)^{2}-4(k^{2}+1)×4＞0$，即$k＜-\frac{3}{4}$，
设$M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2})$，则$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-\frac{4k-2}{k^{2}+1},\\x_{1}· x_{2}=\frac{4}{k^{2}+1},\end{cases}$
则$k_{1}+k_{2}=\frac{y_{1}}{x_{1}}+\frac{y_{2}}{x_{2}}=\frac{kx_{1}+2}{x_{1}}+\frac{kx_{2}+2}{x_{2}}$
$=2k+\frac{2}{x_{1}}+\frac{2}{x_{2}}=2k+\frac{2(x_{1}+x_{2})}{x_{1}· x_{2}}$
$=2k+\frac{2×(-\frac{4k-2}{k^{2}+1})}{\frac{4}{k^{2}+1}}=2k-2k+1=1$(定值)。

20. 已知点$P(2,0)$及圆$C:x^{2} + y^{2} - 6x + 4y + 4 = 0$.
(1)若直线$l$过点$P$且与圆心$C$的距离为$1$，求直线$l$的方程；
(2)设过点$P$的直线$l_{1}$与圆$C$交于$M,N$两点，当$|MN| = 4$时，求以线段$MN$为直径的圆$Q$的方程；
(3)设直线$ax - y + 1 = 0$与圆$C$交于$A,B$两点，是否存在实数$a$，使得过点$P(2,0)$的直线$l_{2}$垂直平分弦$AB$？若存在，求出实数$a$的值；若不存在，请说明理由.

答案： 20.
(1)$3x+4y-6=0$或$x=2$
(2)$(x-2)^{2}+y^{2}=4$
(3)不存在
解析
(1)当直线$l$的斜率存在时，设直线$l$的斜
率为$k$，则其方程为
$y-0=k(x-2)$，即$kx-y-2k=0$。
又圆C的圆心为$(3,-2)$，半径$r=3$，
由$\frac{\vert 3k+2-2k\vert}{\sqrt{k^{2}+1}}=1$，解得$k=-\frac{3}{4}$。
所以直线$l$的方程为$y=-\frac{3}{4}(x-2)$，
即$3x+4y-6=0$。
当直线$l$的斜率不存在时，$l$的方程为$x=2$，经验
证$x=2$也满足条件。
综上，直线$l$的方程为$3x+4y-6=0$或$x=2$。
(2)由于$\vert CP\vert=\sqrt{5}$，而弦心距
$d=\sqrt{r^{2}-(\frac{\vert MN\vert}{2})^{2}}=\sqrt{5}$，所以$d=\vert CP\vert=\sqrt{5}$。
所以$P$恰为$MN$的中点，故以$MN$为直径的圆$Q$
的方程为$(x-2)^{2}+y^{2}=4$。
(3)把直线方程$y=ax+1$代入圆C的方程，消去
$y$，整理得$(a^{2}+1)x^{2}+6(a-1)x+9=0$。
由于直线$y=ax+1$交圆C于$A,B$两点，
故$\Delta=36(a-1)^{2}-36(a^{2}+1)＞0$，解得$a＜0$。
所以实数$a$的取值范围是$(-\infty,0)$。
设符合条件的实数$a$存在，由于$l_{2}$垂直平分弦
$AB$，故圆心$C(3,-2)$必在$l_{2}$上。
所以$l_{2}$的斜率$k_{PC}=-2$，
而$k_{AB}=a=-\frac{1}{k_{PC}}$，所以$a=\frac{1}{2}$与$a＜0$矛盾。
故不存在实数$a$，使得过点$P(2,0)$的直线$l_{2}$垂直
平分弦$AB$。