《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

变式5 若动点$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$分别在直线$l_1:x + y - 7 = 0$和$l_2:x + y - 5 = 0$上移动，则线段$AB$的中点$M$到原点的距离的最小值为 ()

A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{2}$

答案： 答案 C
解析 由题意可知：$M$点的轨迹为平行于直线$l_1$和$l_2$且到$l_1$,$l_2$距离相等的直线$l$，故其方程为$x + y - 6 = 0$，故$M$到原点的距离的最小值为$\frac{6}{\sqrt{1 + 1}} = 3\sqrt{2}$.

【例6】点$(1,2)$关于直线$x + y - 2 = 0$的对称点是 ()
A.$(1,0)$
B.$(0,1)$
C.$(0,-1)$
D.$(2,1)$

答案： 答案 B
解析 设点$A(1,2)$关于直线$x + y - 2 = 0$的对称点是$B(a,b)$，
则有$\begin{cases}\frac{b - 2}{a - 1} × (-1) = -1,\frac{a + 1}{2} + \frac{b + 2}{2} - 2 = 0,\end{cases}$
解得$a = 0$,$b = 1$，
故点$(1,2)$关于直线$x + y - 2 = 0$的对称点是$(0,1)$.
点睛 关于轴对称问题：
(1)点$A(a,b)$关于直线$Ax + By + C = 0$的对称点$A'(m,n)$，则有$\begin{cases}\frac{n - b}{m - a} × (-\frac{A}{B}) = -1,\\A · \frac{a + m}{2} + B · \frac{b + n}{2} + C = 0.\end{cases}$
(2)常见的点关于直线的对称点：
①点$P(x_0,y_0)$关于直线$x = m$的对称点$P'(2m - x_0,y_0)$；
②点$P(x_0,y_0)$关于直线$y = n$的对称点$P'(x_0,2n - y_0)$；
③点$P(x_0,y_0)$关于直线$x - y + m = 0$的对称点$P'(y_0 - m,x_0 + m)$；
④点$P(x_0,y_0)$关于直线$x + y + m = 0$的对称点$P'(-y_0 - m,-x_0 - m)$.
(2)直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.

变式6 已知点$M(3,5)$，在直线$l:x - 2y + 2 = 0$和$y$轴上各找一点$P$和$Q$，使$\triangle MPQ$的周长最小.

答案：
答案 $P(\frac{5}{2},\frac{9}{4})$,$Q(0,\frac{7}{2})$.
解析 如下图所示，由点$M(3,5)$及直线$l$，可求得点$M$关于$l$的对称点$M_1(5,1)$.

同样容易求得点$M$关于$y$轴的对称点$M_2(-3,5)$，
直线$M_1M_2$的方程为$x + 2y - 7 = 0$.
令$x = 0$，
得到$M_1M_2$与$y$轴的交点$Q(0,\frac{7}{2})$；
解方程组$\begin{cases}x + 2y - 7 = 0,\\x - 2y + 2 = 0,\end{cases}$
得交点$P(\frac{5}{2},\frac{9}{4})$，
故点$P(\frac{5}{2},\frac{9}{4})$,$Q(0,\frac{7}{2})$即为所求.