《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

【例 1】已知点 $ A $ 的坐标为 $ A(1,1,0) $，向量 $ \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=(4,0,2) $，则点 $ B $ 的坐标为()

A.$ (7,-1,4) $
B.$ (9,1,4) $
C.$ (3,1,1) $
D.$ (1,-1,1) $

答案： 答案 B
解析 由题意有 $ \overrightarrow{AB}=(8,0,4) $，
则 $ \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=(1,1,0)+(8,0,4) $
$ =(9,1,4) $，
即 $ B $ 点坐标为 $ (9,1,4) $。
点睛 求出 $ \overrightarrow{AB} $ 的坐标，再由向量 $ \overrightarrow{OB} $ 的坐标表示求出 $ B $ 点坐标。

变式 1 已知 $ \boldsymbol{a}=(1,-2,1) $，$ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(-1,2,-1) $，则 $ \boldsymbol{b}= $()

A.$ (2,-4,2) $
B.$ (-2,4,-2) $
C.$ (-2,0,-2) $
D.$ (2,1,-3) $

答案： 答案 B
解析 $ \boldsymbol{b}=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})-\boldsymbol{a}=(-1,2,-1)-(1,-2,1)=(-2,4,-2) $。

【例 2】设 $ x,y\in\mathbf{R} $，向量 $ \boldsymbol{a}=(x,1,1) $，$ \boldsymbol{b}=(1,y,1) $，$ \boldsymbol{c}=(2,-4,2) $，且 $ \boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{c} $，$ \boldsymbol{b}//\boldsymbol{c} $，则 $ x+y $ 的值为()

A.$ -1 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $

答案： 答案 A
解析 因为 $ \boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{c} $，
所以 $ \boldsymbol{a}·\boldsymbol{c}=2x - 4 + 2 = 0 $，
解得 $ x = 1 $，又 $ \boldsymbol{b}//\boldsymbol{c} $，所以 $ \frac{1}{2}=\frac{y}{-4}=\frac{1}{2} $，
解得 $ y = -2 $，所以 $ x + y = -1 $。
点睛 利用 $ \boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{c} $ 和 $ \boldsymbol{b}//\boldsymbol{c} $ 的坐标运算求出 $ x = 1 $，$ y = -2 $。

变式 2 已知向量 $ \boldsymbol{a}=(1,1,0) $，$ \boldsymbol{b}=(-1,0,2) $，且 $ k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} $ 与 $ 2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} $ 互相垂直，则 $ k $ 的值是()

A.$ 1 $
B.$ \frac{1}{5} $
C.$ \frac{3}{5} $
D.$ \frac{7}{5} $

答案： 答案 D
解析 依题意得 $ (k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})·(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) = 0 $，
即 $ 2k|\boldsymbol{a}|^{2}-k\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+2\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}-|\boldsymbol{b}|^{2}=0 $，
而 $ |\boldsymbol{a}|^{2}=2 $，$ |\boldsymbol{b}|^{2}=5 $，$ \boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=-1 $，
所以 $ 4k + k - 2 - 5 = 0 $，解得 $ k = \frac{7}{5} $。