《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

【例2】如下图所示，在四棱锥$P - ABCD$中，底面$ABCD$是正方形，$E$为$PD$的中点，若$\overrightarrow{PA}=a,\overrightarrow{PB}=b,\overrightarrow{PC}=c$，则$\overrightarrow{BE}=$(C)


A.$\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}c$
B.$\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}b - \frac{1}{2}c$
C.$\frac{1}{2}a - \frac{3}{2}b + \frac{1}{2}c$
D.$\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}b + \frac{3}{2}c$

答案： 答案 C
解析 由底面$ABCD$是正方形，$E$为$PD$的中点，且$\overrightarrow{PA}=a,\overrightarrow{PB}=b,\overrightarrow{PC}=c$，
根据向量的运算法则，可得
$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{BD})$
$=\frac{1}{2}\overrightarrow{BP}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$
$=-\frac{1}{2}\overrightarrow{PB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$
$=-\frac{1}{2}\overrightarrow{PB}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PB})$
$=-\frac{3}{2}\overrightarrow{PB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{PA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{PC}$
$=\frac{1}{2}a - \frac{3}{2}b + \frac{1}{2}c$.
点睛 由题设给出的基底向量，结合图形，运用向量线性运算，将所要求的向量表示为题设给出基底的线性组合.

变式2 如下图所示，已知$S$是$\triangle ABC$所在平面外一点，$D$是$SC$的中点，若$\overrightarrow{BD}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}+z\overrightarrow{AS}$，则$x =$-1，$y =$$\frac{1}{2}$，$z =$$\frac{1}{2}$.

答案： 答案 $x = - 1,y = \frac{1}{2},z = \frac{1}{2}$
解析 $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BS})$
$=\frac{1}{2}[(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{AS}-\overrightarrow{AB})]$
$=-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AS}$，
所以$x = - 1,y = \frac{1}{2},z = \frac{1}{2}$.

【例3】 如下图所示，已知空间四边形$ABCD$中，$AB\perp CD,AC\perp BD$，求证：$AD\perp BC$.

答案 略
证明 因为$AB\perp CD,AC\perp BD$，
所以$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{CD}=0,\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BD}=0$，
$\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA})·(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$
$=\overrightarrow{BD}·\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}·\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{AB}$
$=\overrightarrow{AB}·(-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA})$
$=\overrightarrow{AB}·(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{DC}$
$=-\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{CD}=0$，
所以$AD\perp BC$.
点睛 空间向量证明垂直问题的一般步骤：(1)把已知条件和求证目标先表示为向量；(2)通过向量运算化简；(3)通过数量积运算证明垂直.

答案： 答案 略
证明 因为$AB\perp CD,AC\perp BD$，
所以$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{CD}=0,\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BD}=0$，
$\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA})·(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$
$=\overrightarrow{BD}·\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}·\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{AB}$
$=\overrightarrow{AB}·(-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA})$
$=\overrightarrow{AB}·(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{DC}$
$=-\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{CD}=0$，
所以$AD\perp BC$.
点睛 空间向量证明垂直问题的一般步骤：
(1)把已知条件和求证目标先表示为向量；
(2)通过向量运算化简；
(3)通过数量积运算证明垂直.

变式3 如下图所示，已知空间四边形$ABCD$的每条边和每条对角线长度都等于$a$，求证：$AC\perp BD$.

答案： 答案 略
解析 设$\overrightarrow{AB}=a,\overrightarrow{AC}=b,\overrightarrow{AD}=c$，
所以$\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BD}=b·(c - a)=b· c - b· a$
$=a· a·\cos60^{\circ}-a· a·\cos60^{\circ}=0$，
所以$AC\perp BD$.