《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

变式4 如下图所示，在菱形ABCD中，
∠ABC=60°,AC与BD相交于点O,AE⊥
平面ABCD,CF//AE,AB=AE=4.

(1)求证:BD⊥平面ACFE;
(2)当直线FO与平面BED所成的角为
$\frac{π}{4}$时，求异面直线OF与BE所成角的余弦值
大小.

答案：
答案
(1)证明略
(2)$\frac{√5}{4}$
解析
(1)因为四边形ABCD是菱形，
所以BD⊥AC.
因为AE⊥平面ABCD,BDC二平面
ABCD,所以BD⊥AE.
因为ACAE=A,所以BD⊥平面
ACFE.
(2)以O为原点,OA,OB的方向为x,y
轴正方向，过O且平行于CF的直线为z轴
(向上为正方向)，建立空间直角坐标系，如下
图所示:

则B(0,2$\sqrt{3}$,0),D(0,−2√3,0),
E(2,0,4),F(−2,0,a)(a＞0),
OF=(−2,0,a).
设平面BED的法向量为n=(x,y,N),
则有{nn..OOBE==00,,即{√x3+y2=z0=,0,
令x=1,则n=(−2,0,1),由题意有FO 与平面BED所成的正弦值为$\frac{√2}{2}$,
所以$\frac{√2}{2}$=|cos＜OF,n＞|=|OOFF|..n|!n||
=$\frac{|4+al}{√a²+4.√5}$,
因为a＞0,所以a=6.
所以OF=(−2,0,6),
BE=(2,−2√3,4),
所以cos＜OF,BE＞=$\frac{OF.BE}{|OF|.|BE|}$
=$\frac{−4+24}{√40×√32}$=$\frac{√5}{4}$.
故异面直线OF与BE所成的角的余弦
值为$\frac{√5}{4}$.