《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

12. 点$P(x, y)$到直线$5x - 12y + 13 = 0$和直线$3x - 4y + 5 = 0$的距离相等，则点$P$的轨迹方程可能是(AC)

A.$32x - 56y + 65 = 0$
B.$4x - 8y + 9 = 0$
C.$7x + 4y = 0$
D.$x - 4y + 4 = 0$

答案： 12.AC　解析　由点到直线距离公式得$\frac{|5x - 12y + 13|}{13} = \frac{|3x - 4y + 5|}{5}$，整理得$32x - 56y + 65 = 0$或$7x + 4y = 0$。

13. 将直线$y = x + \sqrt{3} - 1$绕它上面一点$(1, \sqrt{3})$沿逆时针方向旋转$15^{\circ}$，得到的直线方程是$y = \sqrt{3}x$。

答案： 13.$y = \sqrt{3}x$　解析　直线$y = x + \sqrt{3} - 1$的倾斜角是$45°$，逆时针方向旋转$15°$后成$60°$，斜率是$\sqrt{3}$，则方程是$y - \sqrt{3} = \sqrt{3}(x - 1)$，即$y = \sqrt{3}x$。

14. 若两直线$l_1: 2x - 5y + 20 = 0$，$l_2: mx - 2y - 10 = 0$与两坐标轴所围成的四边形有外接圆，则$m =$$-5$。

答案： 14.$- 5$　解析　由题意可得$l_1 \perp l_2$，则$2m + ( - 5) × ( - 2) = 0$，解得$m = - 5$。

15. 过$l_1: x - 3y - 6 = 0$，$l_2: 2x - y - 7 = 0$的交点且平行于直线$2x - 3y - 7 = 0$的直线方程是$2x - 3y - 9 = 0$。

答案： 15.$2x - 3y - 9 = 0$　解析　$l_1:x - 3y - 6 = 0$与$l_2:2x - y - 7 = 0$的交点$(3, - 1)$，由点斜式方程可得$2(x - 3) - 3(y + 1) = 0$，即$2x - 3y - 9 = 0$。

16. 已知集合$A = \{(x, y)|\frac{y - 3}{x - 2} = a + 1\}$，集合$B = \{(x, y)|(a^2 - 1)x + (a - 1)y - 15 = 0\}$，若$A \cap B = \varnothing$，则$a$的取值是$-1$或$1$或$-4$或$\frac{5}{2}$。

答案： 16.$- 1$或$1$或$- 4$或$\frac{5}{2}$　解析　集合$A$表示直线$l_1:(a + 1)x - y - 2a + 1 = 0(x \neq 2)$，集合$B$表示直线$l_2:(a^2 - 1)x + (a - 1)y - 15 = 0$。①当$B = \varnothing$时，$a = 1$；②若$l_1 // l_2$，$a = - 1$；③若$(2,3)$在$l_2:(a^2 - 1)x + (a - 1)y - 15 = 0$上，则$a = - 4$或$\frac{5}{2}$。

17. 如下图所示，在平面直角坐标系$xOy$中，已知点$A(0, 2)$，$B(-2, 0)$，$C(1, 0)$，分别以$AB$，$AC$为边向外作正方形$ABEF$和$ACGH$，则点$H$的坐标为$H(2,3)$，直线$FH$的一般式方程为$x + 4y - 14 = 0$。

答案：
17.$H(2,3);x + 4y - 14 = 0$　解析　过点$H$，作$HM \perp y$轴，过点$F$作$FN \perp y$轴，如下图所示：

则$\triangle AOC \cong \triangle HMA$，则$AM = 1$，$MH = 2$，则$H(2,3)$，同理$\triangle AOB \cong \triangle ANF$，则$FN = AN = 2$，则$F( - 2,4)$，则$HF:\frac{y - 3}{4 - 3} = \frac{x - 2}{- 2 - 2}$，化简得：$x + 4y - 14 = 0$。

18. 过点$P(3, 0)$作直线$l$，使它被两相交直线$2x - y - 2 = 0$和$x + y + 3 = 0$所截得的线段恰好被$P$平分，求直线$l$的方程。

答案： 18.$8x - y - 24 = 0$
解析1 由题意可得直线的斜率存在，直线$l$过点$P(3,0)$，设直线$l$方程为$y = k(x - 3)$，则$k \neq 2$且$k \neq - 1$。与$2x - y - 2 = 0$联立得$\begin{cases}x = \frac{3k - 2}{k - 2}\\y = \frac{4k}{k - 2}\end{cases}$，与$x + y + 3 = 0$联立得$\begin{cases}x = \frac{3k - 3}{k + 1}\\y = \frac{- 6k}{k + 1}\end{cases}$，则$\frac{3k - 2}{k - 2} + \frac{3k - 3}{k + 1} = 6$，解得$k = 8$，因此所求直线方程为$y = 8(x - 3)$，即$8x - y - 24 = 0$。
解析2 设直线$l$与直线$2x - y - 2 = 0$交于点$A(a,b)$，点$A$关于$P(3,0)$的对称点为$B(6 - a, - b)$，则$\begin{cases}2a - b - 2 = 0\\6 - a - b + 3 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = \frac{11}{3}\\b = \frac{16}{3}\end{cases}$，则由两点式得直线$AP$方程为$8x - y - 24 = 0$。