《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

【例2】 如下图所示，在平行六面体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$M$为$A_1C_1$与$B_1D_1$的交点，若$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{AA_1}=\boldsymbol{c}$，则下列向量中与$\overrightarrow{BM}$相等的向量是 ()


A.$-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$
B.$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$
C.$-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$
D.$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$

答案： 答案 A
解析 在平行六面体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$M$为$A_1C_1$与$B_1D_1$的交点，
$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{B_1M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA})+\overrightarrow{AA_1}$
$=-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$.
点睛 在平行六面体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，结合空间向量的运算法则，准确运算，即可求解.

变式2 如下图所示，在四面体$O-ABC$中，$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}$，$D$为$BC$的中点，$E$为$AD$的中点，则$\overrightarrow{OE}=$()


A.$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{1}{4}\boldsymbol{b}+\frac{1}{4}\boldsymbol{c}$
B.$\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$
C.$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{4}\boldsymbol{b}+\frac{1}{4}\boldsymbol{c}$
D.$\frac{1}{4}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\frac{1}{4}\boldsymbol{c}$

答案： 答案 C
解析 $\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$
$=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB})\right]$
$=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{4}\boldsymbol{b}+\frac{1}{4}\boldsymbol{c}$.

【例3】 如下图所示，已知矩形$ABCD$，$P$为平面$ABCD$外一点，且$PA\perp$平面$ABCD$，$M$，$N$分别为$PC$，$PD$上的点，且$\overrightarrow{PM}=2\overrightarrow{MC},\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{ND},\overrightarrow{NM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}+z\overrightarrow{AP}$，则$x+y+z=$()


A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$1$
D.$\frac{5}{6}$

答案： 答案 B
解析 因为$\overrightarrow{PM}=2\overrightarrow{MC},\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{ND}$，
所以$\overrightarrow{PM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{PC},\overrightarrow{PN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PD}$，
所以$\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{PM}-\overrightarrow{PN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{PC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{PD}$
$=\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP})-\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AP})$
$=\frac{2}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AP})-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AP}$
$=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AP}$，
因为$\overrightarrow{NM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}+z\overrightarrow{AP}$，
所以$x=\frac{2}{3},y=\frac{1}{6},z=-\frac{1}{6}$，
所以$x+y+z=\frac{2}{3}$.
点睛 由$\overrightarrow{PM}=2\overrightarrow{MC},\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{ND}$，得$\overrightarrow{PM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{PC},\overrightarrow{PN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PD}$，然后利用向量的加减法，把向量$\overrightarrow{NM}$用向量$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AP}$表示出来，求出$x,y,z$的值，从而可得答案.