《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

变式4 已知四边形$OABC$各顶点的坐标分别为$O(0, 0)$，$A(2, 1)$，$B(1, 3)$，$C(-1, 2)$，点$D$为边$OA$的中点，点$E$在线段$OC$上，且$\triangle DBE$是以角$B$为顶角的等腰三角形，记直线$EB$，$DB$的倾斜角分别为$\alpha$，$\beta$，则$\sin(\alpha + \beta) =$.

答案：
答案 $\frac{3}{5}$
解析 由题中条件可得
$k_{OA} = k_{CB} = \frac{1}{2}$，$k_{OC} = k_{AB} = -2$，
且$OA, CB, OC, AB$不重合，
所以$OA // CB$，$OC // AB$，
所以四边形$OABC$为平行四边形，
如下图所示，连接$DE$，$BD$.

由两点间距离公式得$OA = OC = \sqrt{5}$，
所以平行四边形$OABC$为菱形，
因为$k_{OA} · k_{OC} = -1$，所以$OA \perp OC$，
所以菱形$OABC$为正方形，
因为$D$为边$OA$的中点，
$\triangle DBE$是以角$B$为顶角的等腰三角形，
所以$E$必为边$OC$的中点，
则$D(1, \frac{1}{2})$，$E(-\frac{1}{2}, 1)$，
所以$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha = k_{EB} = \frac{3 - 1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{4}{3} ＞ 0$.
由题意得$\sin\alpha ＞ 0$，所以$\cos\alpha ＞ 0$，
因为$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$，
解得$\sin\alpha = \frac{4}{5}$，$\cos\alpha = \frac{3}{5}$(负根舍去)，
直线$DB$与$x$轴垂直，则$\beta = 90°$，
所以$\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha + 90°) = \cos\alpha = \frac{3}{5}$.

【例5】 如下图所示，矩形$OABC$中，$O$为坐标原点，$B(8, 6)$，光线从$OA$边上一点$P_0(4, 0)$发出，到$AB$边上的点$P_1$，被$AB$反射到$BC$上的点$P_2$，再被$BC$反射到$OC$上的点$P_3$，最后被$OC$反射到$x$轴上的点$P_4(t, 0)$，若$t \in (4, 8)$，则$P_0P_1$与$x$轴夹角的正切值的取值范围是.

答案： 答案 $\left(\frac{3}{5}, \frac{3}{4}\right)$
解析 设$P_0P_1$与$x$轴夹角为$\theta$.
由题意可知，
$\angle AP_0P_1 = \angle BP_2P_1 = \angle CP_2P_3 = \angle OP_4P_3 = \theta$，
所以$|AP_0| = |AP_0| \tan\theta = 4\tan\theta$，
所以$|BP_1| = |AB| - |AP_1| = 6 - 4\tan\theta$，
所以$|BP_2| = \frac{|BP_1|}{\tan\theta} = \frac{6 - 4\tan\theta}{\tan\theta}$，
所以$|CP_2| = |BC| - |BP_2| = 8 - \frac{6}{\tan\theta}$，
所以$|CP_3| = |CP_2| \tan\theta = 12\tan\theta - 6$，
所以$|OP_3| = |OC| - |CP_3| = 12 - 12\tan\theta$，
所以$|OP_4| = \frac{|OP_3|}{\tan\theta} = \frac{12}{\tan\theta} - 12 = t \in (4, 8)$，
所以$\tan\theta \in \left(\frac{3}{5}, \frac{3}{4}\right)$，
故答案为$\left(\frac{3}{5}, \frac{3}{4}\right)$.
点睛 根据入射光线与反射光线的关系，逐步用$\tan\theta$表示出$t$，再根据$t$的范围可求$\tan\theta$.