《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

【例4】已知双曲线$C:\frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{8} = 1$的左焦点为$F$，点$M$在双曲线$C$的右支上，$A(0,4)$，当$\triangle MAF$的周长最小时，$\triangle MAF$的面积为.

答案：
答案 12
解析 如下图所示，设双曲线$C$的右焦点为$F'$，连接$AF'$交双曲线于点$M'$.由题意可得$a = 2\sqrt{2}$，$F(-4,0)$，$F'(4,0)$.
因为$|MF| - |MF'|| = 2a = 4\sqrt{2}$，
则$\triangle MAF$的周长$L = |MA| + |MF| + |AF| = |MA| + |MF'| + 8\sqrt{2} \geq |M'A| + |M'F'| + 8\sqrt{2} = |AF'| + 8\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$，
即当$M$在$M'$处时，$\triangle MAF$的周长最小，此时直线$AF'$的方程为$y = -x + 4$.
联立$\begin{cases}y = -x + 4\frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{8} = 1\end{cases}$整理得：$y_M = 1$，故$S_{\triangle MAF} = \frac{1}{2}|FF'| · |OA| - \frac{1}{2}|FF'| · |y_M| = \frac{1}{2} × 8 × (4 - 1) = 12$.
点睛 运用双曲线的定义，将焦半径$|MF|$转化为$2a + |MF'|$，理解双曲线中双焦点的“相伴相生”这一对称特性.

变式4 已知双曲线$C:x^2 - 4y^2 = 1$的左、右焦点分别为$F_1$、$F_2$，$|MF_1| - |MF_2| = 2$，点$N$在圆$Q:x^2 + y^2 - 2y = 0$上，则$|MN| + |MF_1|$的最小值为.

答案：
答案 $\frac{5}{2}$
解析 因为$|MF_1| - |MF_2| = 2 ＜ |F_1F_2| = \sqrt{5}$，点$M$在双曲线$C$的右支上，如下图所示：
圆$Q$的标准方程为$x^2 + (y - 1)^2 = 1$，圆心为$Q(0,1)$，半径为$1$.
因为$|MF_1| = |MF_2| + 2$，所以$|MN| + |MF_1| = |MN| + |MF_2| + 2 \geq |NF_2| + 2 \geq |QF_2| - 1 + 2 = \sqrt{(0 - \frac{\sqrt{5}}{2})^2 + 1^2} + 1 = \frac{5}{2}$，
当且仅当$N$、$Q$、$F_2$三点共线，且点$N$在线段$QF_2$上时，$|MN| + |MF_1|$取最小值$\frac{5}{2}$.