《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

1. 若点 $P(1,1)$ 在圆 $C:x^2 + y^2 + x - y + k = 0$ 的外部，则实数 $k$ 的取值范围是(C)

A.$(-2,+\infty)$
B.$[-2,-\frac{1}{2})$
C.$(-2,\frac{1}{2})$
D.$(-2,2)$

答案： 1.C 解析 由题意得$\begin{cases}1 + 1 + 1 - 1 + k ＞ 0, \\1 + 1 - 4k ＞ 0,\end{cases}$
解得$-2 ＜ k ＜ \frac{1}{2}$。

2. 过三点 $A(1,3)$，$B(4,2)$，$C(1,-7)$ 的圆交 $y$ 轴于 $M$，$N$ 两点，则 $|MN| =$(C)

A.$2$
B.$8$
C.$4\sqrt{6}$
D.$10$

答案： 2.C 解析 由已知得$k_{AB}=-\frac{1}{3}$，$k_{CB}=3$，
所以$k_{AB}k_{CB}=-1$，所以$AB \perp CB$，
即$\triangle ABC$为直角三角形，其外接圆圆心为$AC$中点$(1,-2)$，半径长为$\frac{|AC|}{2}=5$，
所以外接圆方程为$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$，
令$x=0$，得$y=\pm 2\sqrt{6}-2$，所以$|MN|=4\sqrt{6}$。

3. 已知 $A(3,-2)$，$B(-5,4)$，则以 $AB$ 为直径的圆的方程是(B)

A.$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 25$
B.$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 25$
C.$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 100$
D.$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 100$

答案： 3.B 解析 由题意可得圆心为$(-1,1)$，半径$r = 5$，
由圆心和半径可得圆的方程为$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 =25$。

4. 当点 $P$ 在圆 $x^2 + y^2 = 1$ 上变动时，它与定点 $Q(3,0)$ 的连结线段 $PQ$ 的中点的轨迹方程是(B)

A.$(x + 3)^2 + y^2 = 4$
B.$(2x - 3)^2 + 4y^2 = 1$
C.$(x - 3)^2 + y^2 = 1$
D.$(2x + 3)^2 + 4y^2 = 1$

答案：
4.B 解析 设$P(x_0,y_0)$，线段$PQ$的中点为$M(x,y)$，如下图所示.

$\begin{cases} x = \frac{x_0 + 3}{2}, \\ y = \frac{y_0}{2} \end{cases}$即$\begin{cases} x_0 = 2x - 3, \\ y_0 = 2y, \end{cases}$
因为点$P(x_0,y_0)$在圆$x^2 + y^2 = 1$上变动，
即$x_0^2 + y_0^2 = 1$，所以$(2x - 3)^2 + (2y)^2 = 1$，
即$(2x - 3)^2 + 4y^2 = 1$。

5. 已知实数 $x$、$y$ 满足方程 $x^2 + y^2 - 4x + 1 = 0$，则 $x^2 + y^2$ 的最小值为(A)

A.$7 - 4\sqrt{3}$
B.$7 + 4\sqrt{3}$
C.$2 + \sqrt{3}$
D.$2 - \sqrt{3}$

答案： 5.A 解析 圆的标准方程为$(x - 2)^2 + y^2 = 3$，
圆心为$C(2,0)$，半径长为$\sqrt{3}$，
因为$(0 - 2)^2 + 0^2 ＞ 3$，
所以，原点在圆$(x - 2)^2 + y^2 = 3$外。
$x^2 + y^2$的几何意义为坐标原点$O$到圆上一点距离的平方，所以
$(x^2 + y^2)_{\min}=(|OC| - \sqrt{3})^2$
$=(2 - \sqrt{3})^2=7 - 4\sqrt{3}$。

6. 若直线 $l:ax + by + 1 = 0$ 始终平分圆 $M:x^2 + y^2 + 4x + 2y + 1 = 0$ 的周长，则 $\sqrt{(a - 2)^2 + (b - 2)^2}$ 的最小值为(A)

A.$\sqrt{5}$
B.$5$
C.$2\sqrt{5}$
D.$10$

答案： 6.A 解析 由题意直线$l$过已知圆的圆心，圆心为$(-2,-1)$，所以$-2a - b + 1 = 0$，即$2a + b - 1 = 0$，
点$(a,b)$在直线$2x + y - 1 = 0$上，
$\sqrt{(a - 2)^2 + (b - 2)^2}$表示直线$2x + y - 1 = 0$上的点$(a,b)$到点$(2,2)$的距离，
所以最小值为$\frac{|2 × 2 + 2 - 1|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$。

7. 圆心为 $C(-\frac{1}{2},3)$ 的圆与直线 $l:x + 2y - 3 = 0$ 交于 $P$、$Q$ 两点，$O$ 为坐标原点，且满足 $\overrightarrow{OP} · \overrightarrow{OQ} = 0$，则圆 $C$ 的方程为(C)

A.$(x + \frac{1}{2})^2 + (y - 3)^2 = \frac{5}{2}$
B.$(x - \frac{1}{2})^2 + (y + 3)^2 = \frac{5}{2}$
C.$(x + \frac{1}{2})^2 + (y - 3)^2 = \frac{25}{4}$
D.$(x - \frac{1}{2})^2 + (y + 3)^2 = \frac{25}{4}$

答案： 7.C 解析 因为圆心为$C(-\frac{1}{2},3)$，所以设圆的方程为：$(x + \frac{1}{2})^2 + (y - 3)^2 = r^2$，
将直线方程代入圆的方程，
得到$5y^2 - 20y + \frac{85}{4} - r^2 = 0$，
设$P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$，
则有$y_1 + y_2 = 4$，$y_1 · y_2 = \frac{17}{4} - \frac{r^2}{5}$，
因为$\overrightarrow{OP} · \overrightarrow{OQ}=0$，所以$x_1x_2 + y_1y_2 = 0$，
所以$(3 - 2y_1)(3 - 2y_2) + y_1y_2 = 0$，
整理得$9 - 6(y_1 + y_2) + 5y_1y_2 = 0$，
即$9 - 6 × 4 + 5 × (\frac{17}{4} - \frac{r^2}{5}) = 0$，求得$r^2 = \frac{25}{4}$，
所以圆$C$的方程为$(x + \frac{1}{2})^2 + (y - 3)^2 = \frac{25}{4}$。

8. 已知圆 $O:x^2 + y^2 = 4$ 上的动点 $M$ 和定点 $A(-1,0)$，$B(2,2)$，则 $2|MA| + |MB|$ 的最小值为(D)

A.$2\sqrt{6}$
B.$2\sqrt{7}$
C.$4\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{10}$

答案：
8.D 解析 如下图所示，取点$K(-4,0)$，连接$OM$，$MK$。因为$OM = 2$，$OA = 1$，$OK = 4$，

所以$\frac{OM}{OA}=\frac{OK}{OM}=2$，因为$\angle MOK = \angle AOM$，
所以$\triangle MOK \sim \triangle AOM$，所以$\frac{MK}{MA}=\frac{OM}{OA}=2$，
所以$MK = 2MA$，
所以$|MB| + 2|MA| = |MB| + |MK|$，
因为$|MB| + |MK| \geqslant |BK|$，当且仅当三点共线时等号成立，所以$|MB| + 2|MA| = |MB| + |MK|$的最小值为$|BK|$的长，
因为$B(2,2)$，$K(-4,0)$，
所以$|BK| = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (0 - 2)^2}=2\sqrt{10}$。

9. 由方程 $x^2 + y^2 + x + (m - 1)y + \frac{1}{2}m^2 = 0$ 所确定的圆的面积不能为(ACD)

A.$\frac{\sqrt{3}}{2}\pi$
B.$\frac{3}{4}\pi$
C.$\pi$
D.$2\pi$

答案： 9.ACD 解析 所给圆的半径为
$r = \frac{\sqrt{1 + (m - 1)^2 - 2m^2}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{-(m + 1)^2 + 3}$。
所以当$m = -1$时，半径$r$取最大值$\frac{\sqrt{3}}{2}$，此时最大面积是$\frac{3}{4}\pi$。