《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

22. 已知点 $ A(0,1,-1) $，$ B(2,2,1) $，向量 $ \boldsymbol{a}=\overrightarrow{OA} $，$ \boldsymbol{b}=\overrightarrow{OB} $。
(1) 求向量 $ \boldsymbol{b} $ 的单位向量 $ \boldsymbol{b}_{0} $；
(2) 求 $ |2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| $，$ |-3\boldsymbol{a}| $；
(3) 求 $ \cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle $；
(4) 求点 $ B $ 到直线 $ OA $ 的距离。

答案： 22. 解析 由已知得：$\boldsymbol{a} = (0, 1, -1)$，$\boldsymbol{b} = (2, 2, 1)$。
(1)$|\boldsymbol{b}| = 3$，则$\boldsymbol{b_0} = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$。
(2)$2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = (-2, 0, -3)$，$|2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = \sqrt{13}$，
$-3\boldsymbol{a}=(0, -3, 3)$，$|-3\boldsymbol{a}| = 3\sqrt{2}$
(3)$\cos \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle = \frac{\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| · |\boldsymbol{b}|} = \frac{\sqrt{2}}{6}$。
(4)$OB$在$OA$上的投影为$|\overrightarrow{OB}| \cos \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle$，
$|\overrightarrow{OB}| \cos \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle = 3 × \frac{\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
点$B$到直线$OA$的距离
$d = \sqrt{|\overrightarrow{OB}|^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{\sqrt{34}}{2}$。

23. 对于空间向量 $ \boldsymbol{m}=(r,q,s) $，定义 $ \|\boldsymbol{m}\|=\max\{|r|,|q|,|s|\} $，其中 $ \max\{x,y,z\} $ 表示 $ x $，$ y $，$ z $ 这三个数的最大值。
(1) 已知 $ \boldsymbol{a}=(3,-4,2) $，$ \boldsymbol{b}=(-3,1,0) $，写出 $ \|\boldsymbol{a}\| $ 和 $ \|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\| $ 的值；
(2) 已知 $ \boldsymbol{a}=(3,-4,2) $，$ \boldsymbol{c}=(x,-2x,5 - x) $，$ 0\leqslant x\leqslant4 $，求 $ \|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}\| $ 的最小值及此时 $ x $ 的值；
(3) 设 $ \boldsymbol{a}=(x_{1},y_{1},z_{1}) $，$ \boldsymbol{b}=(x_{2},y_{2},z_{2}) $，求证：$ \|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\|\leqslant\|\boldsymbol{a}\|+\|\boldsymbol{b}\| $。

答案： 23.
(1)$4, 3$；
(2)$||\boldsymbol{a} - \boldsymbol{c}||_{\min} = \frac{2}{3}$，$x = \frac{7}{3}$；
(3)证明见解析
解析
(1)$\boldsymbol{a} = (3, -4, 2)$，
故$||\boldsymbol{a}|| = \max\{3, 4, 2\} = 4$；
$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (0, -3, 2)$，
故$||\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|| = \max\{0, 3, 2\} = 3$。
(2)$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{c} = (3 - x, 2x - 4, -3 + x)$，于是
$||\boldsymbol{a} - \boldsymbol{c}|| = \max\{|3 - x|, |2x - 4|, |-3 + x|\}$
$= \max\{|x - 3|, 2|x - 2|, |x - 3|\}$
$= \begin{cases}4 - 2x, & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\3 - x, & 1 ＜ x \leqslant \frac{7}{3} \\2x - 4, & \frac{7}{3} ＜ x \leqslant 4\end{cases}$。
由一次函数单调性可知，
当$x = \frac{7}{3}$时，$||\boldsymbol{a} - \boldsymbol{c}||_{\min} = \frac{2}{3}$；
(3)$||\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|| = \max\{|x_1 + x_2|, |y_1 + y_2|, |z_1 + z_2|\}$
$\leqslant \max\{|x_1| + |x_2|, |y_1| + |y_2|, |z_1| + |z_2|\}$，
因为$||\boldsymbol{a}|| = \max\{|x_1|, |y_1|, |z_1|\}$，
$||\boldsymbol{b}|| = \max\{|x_2|, |y_2|, |z_2|\}$，
所以$|x_1|, |y_1|, |z_1| \leqslant ||\boldsymbol{a}||$，
$|x_2|, |y_2|, |z_2| \leqslant ||\boldsymbol{b}||$，
所以$|x_1| + |x_2| \leqslant ||\boldsymbol{a}|| + ||\boldsymbol{b}||$，
$|y_1| + |y_2| \leqslant ||\boldsymbol{a}|| + ||\boldsymbol{b}||$，
$|z_1| + |z_2| \leqslant ||\boldsymbol{a}|| + ||\boldsymbol{b}||$，
所以$||\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|| \leqslant \max\{||\boldsymbol{a}|| + ||\boldsymbol{b}||, ||\boldsymbol{a}|| + ||\boldsymbol{b}||, ||\boldsymbol{a}|| + ||\boldsymbol{b}||\} = ||\boldsymbol{a}|| + ||\boldsymbol{b}||$。
点睛：新定义问题一般先考查对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可。再是考查满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需结合新函数的新性质，探究“旧”性质。最后是考查综合分析能力，主要是将新性质有机应用在“旧”性质中，创造性地证明更新的性质。