《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

【例 1】已知椭圆$C:\dfrac{x^{2}}{m^{2}}+\dfrac{y^{2}}{n^{2}}=1(m＞0,n＞0,m\neq n)$，长轴长为$4$，离心率为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，则椭圆$C$的方程为()

A.$\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{2}=1$
B.$\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{2}=1$或$\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{4}=1$
C.$\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{8}=1$
D.$\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{8}=1$或$\dfrac{x^{2}}{8}+\dfrac{y^{2}}{16}=1$

答案： 答案 B
解析 设椭圆的长半轴为$a$，短半轴为$b$，半焦距为$c$，离心率为$e$。
因为长轴长为$4$，所以$2a = 4$，
所以$a = 2$，$a^{2}=4$，
因为$e^{2}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{c^{2}}{a^{2}}=\dfrac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}=\dfrac{4 - b^{2}}{4}$，
所以$b^{2}=2$，
所以当椭圆的焦点在$x$轴上时，椭圆方程$\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{2}=1$；当焦点在$y$轴上时，椭圆方程为$\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{4}=1$。
点睛 直接根据性质，求出椭圆的基本量$a,b,c$即可。