《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

【例3】已知双曲线$C$的焦点为$F_1(-\sqrt{5},0)$，$F_2(\sqrt{5},0)$，过点$F_2$的直线与双曲线的右支交于$A$，$B$两点，如下图所示.若$\overrightarrow{AF_2} = 3\overrightarrow{F_2B}$，$3|AB| = 4|BF_1|$，则$C$的方程为.

答案： 答案 $\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{3} = 1$
解析 设双曲线$C$的方程为$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$.
设$|F_2B| = x$，则$|AF_2| = 3x$，
$|AB| = 4x$，$|F_1F_2| = 2\sqrt{5}$，
因为$3|AB| = 4|BF_1|$，所以$|BF_1| = 3x$.
由双曲线的定义得$|BF_1| - |BF_2| = 2a = 2x$，所以$x = a$.
在$\triangle ABF_1$中，
$|AF_1| = 5a$，$|AB| = 4a$，$|BF_1| = 3a$，
$|AF_1|^2 = |AB|^2 + |BF_1|^2$，
所以$BF_1 \perp BF_2$，
所以由$|F_1F_2|^2 = |BF_2|^2 + |BF_1|^2$，
得$20 = a^2 + 9a^2 = 10a^2$，解得$a = \sqrt{2}$，
所以$b^2 = c^2 - a^2 = 5 - 2 = 3$，
所以双曲线$C$的方程为$\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{3} = 1$.
点睛 双曲线的焦点三角形中的线段关系，要充分运用定义来实现数量关系的转换，并在特殊三角形中运用余弦定理构建等量关系.

变式3 已知双曲线$C:\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$的左、右焦点分别为$F_1$，$F_2$，点$P$在双曲线$C$上，若$\triangle PF_1F_2$为钝角三角形，则$|PF_1| + |PF_2|$的取值范围是 ()

A.$(9, +\infty)$
B.$(0,2\sqrt{14}) \cup (9, +\infty)$
C.$(6,2\sqrt{14}) \cup (9, +\infty)$
D.$(6,2\sqrt{14})$

答案：
答案 C
解析1 不妨考虑点$P$在双曲线第一象限部分，设$P(x,y)(x ＞ 1)$.
若$\triangle PF_1F_2$为钝角三角形，则$\angle F_1PF_2$为钝角或$\angle PF_2F_1$为钝角，如下图所示.
当$\angle F_1PF_2$为钝角时，$\overrightarrow{PF_1} · \overrightarrow{PF_2} ＜ 0$，
即$x^2 + y^2 - 9 ＜ 0$，
又$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$，消去$y$得$2 ＜ x ＜ \frac{2\sqrt{14}}{3}$，
所以$|PF_1| + |PF_2| = 4 + 2|PF_2| = 4 + 2\sqrt{(x - 3)^2 + y^2} = 3x \in (6,2\sqrt{14})$.
当$\angle PF_2F_1$为钝角时，$\overrightarrow{F_2P} · \overrightarrow{F_2F_1} ＜ 0$，
即$x ＞ 3$，
所以$|PF_1| + |PF_2| = 4 + 2|PF_2| = 3x ＞ 9$.
综上所述：$|PF_1| + |PF_2|$的取值范围是$(6,2\sqrt{14}) \cup (9, +\infty)$.
解析2 不妨考虑点$P$在双曲线第一象限部分，设$|PF_2| = m(m ＞ 1)$，则由双曲线的
定义知$|PF_1| = 4 + m$.
若$\triangle PF_1F_2$为钝角三角形，则$\angle F_1PF_2$为钝角或$\angle PF_2F_1$为钝角.
当$\angle F_1PF_2$为钝角时，在$\triangle PF_1F_2$中，
由余弦定理：$|PF_1|^2 + |PF_2|^2 ＜ |F_1F_2|^2$，
所以$m^2 + (4 + m)^2 ＜ 36$，
即$m^2 + 4m - 10 ＜ 0$，解得$1 ＜ m ＜ \sqrt{14} - 2$，
所以$|PF_1| + |PF_2| = 2m + 4 \in (6,2\sqrt{14})$；
当$\angle PF_2F_1$为钝角时，首先考虑$\angle PF_2F_1 = \frac{\pi}{2}$时，$PF_2$所在直线方程$x = 3$，
所以$P(3,\frac{5}{2})$，即$m = |PF_2| = \frac{5}{2}$，
此时$|PF_1| + |PF_2| = 2m + 4 ＞ 9$.
综上所述：$|PF_1| + |PF_2|$的取值范围是$(6,2\sqrt{14}) \cup (9, +\infty)$.
点睛 此题考查双曲线中焦点三角形相关计算，关键在于根据几何意义结合特殊情况分类讨论，体现数形结合思想.