《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

[例1]已知动圆过定点;($\frac{p}{2}$,0{,且与直
线x=−相2 切,其中p＞0.求动圆圆心M 的轨迹的方程.

答案：
答案 y²=2px(p＞0)
解析 如下图所示:

设M为动圆圆,心,F($\frac{p}{2}$,0{,过点M作
直线x=−$\frac{p}{2}$的垂线，垂足为N.
由题意知:|MF|=|MN|,
由抛物线的定义知，
点M的轨迹为抛物线，
其中F($\frac{p}{2}$,0)为焦点,x=−$\frac{p}{2}$为准线，
所以轨迹方程为y²=2px(p＞0).
点睛 根据抛物线的定义直接确定焦点
坐标与准线方程，对于问题中的“一动点一定
直线”的几何模型，要结合定义分析问题.

变式1 点M与点F(4,0)的距离比它
到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.

答案： 答案 y²=16x
解析 设点M(x,y).
由题意:点M与点F的距离等于它到直
线x+4=0的距离，
根据抛物线的定义，点M的轨迹是以
F(4,0)为焦点的抛物线，
所以纟=4,得p=8.
又因为焦点在x轴的正半轴上，
所以点M的轨迹方程为y2=16x.

[例2]已知抛物线y2=2x的焦点是F，
点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求
|PA|十|PF|的最小值.

答案：
答案 $\frac{7}{2}$
解析 将x=3代入抛物线方程y²=
2x,得y=±$\sqrt{6}$
如下图所示，设抛物线上点P到准线L:
x=−$\frac{1}{2}$的距离为d.

由定义知|PA|十|PF|=|PA|+d,
当PA⊥L时，|PAI十d的最小值为$\frac{7}{2}$,
即|PA|十|PF|的最小值为$\frac{7}{2}$.
点睛 运用抛物线的定义，将|PF|转化
点P到准线L的距离，实现“化斜为直”

变式2 已知直线l1:4x−3y+6=0和
直线l2:x=−1,则抛物线y²=4x上一动点
P到直线L1和直线L2的距离之和的最小值
是 ()

A.$\frac{3}{5}$$\sqrt{5}$
B.2
C.$\frac{11}{5}$
D.3

答案：
答案 B
解析 如下图所示:

由题可知l2:x=−1是抛物线y²=4x 的准线，设抛物线的焦点F(1,0)，则动点P 到L2的距离|PA|=|PF|,则动点P到直线
L1和直线l2的距离之和的最小值即为焦点
F到直线l1:4x−3y+6=0的距离|FH|,所
以最小值是2.