《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

变式 5 已知双曲线$C$：$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的左焦点为$F(-c,0)$，过点$F$且斜率为$1$的直线与双曲线$C$交于$A$，$B$两点，若线段$AB$的垂直平分线与$x$轴交于点$P(2c,0)$，则双曲线$C$的离心率为()

A.$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2$

答案： 答案 D
解析 设$AB$的中点坐标为$(x_{0},y_{0})$，
则有$\begin{cases}\dfrac{y_{0}}{x_{0}+c}=1,\\\dfrac{y_{0}}{x_{0}-2c}=-1\end{cases}\Rightarrow x_{0}=\dfrac{c}{2}$，$y_{0}=\dfrac{3}{2}c$，
设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，代入双曲线方程有$\dfrac{x_{1}^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1$，$\dfrac{x_{2}^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y_{2}^{2}}{b^{2}}=1$，
两式相减得
$\dfrac{(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})}{a^{2}}-\dfrac{(y_{1}-y_{2})(y_{1}+y_{2})}{b^{2}}=0$，
可得$\dfrac{x_{0}}{a^{2}}-\dfrac{y_{0}}{b^{2}}·1=0$，即$\dfrac{1}{a^{2}}=\dfrac{3}{b^{2}}$，$b^{2}=3a^{2}$，
所以$c=2a$，$e=2$.
点睛 本题考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键要把问题转化为相交弦的中点，利用点差法求出参数关系式.

【例 6】如下图所示，在平面直角坐标系$xOy$中，已知双曲线$C$：$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的右焦点为$F$，两渐近线分别为$l_{1}$，$l_{2}$，过$F$作$l_{1}$的平行线与$l_{2}$交于点$M$，记$\triangle MOF$内切圆圆心为$I$. 若$OI\perp l_{1}$，则$C$的离心率为()


A.$4$
B.$2\sqrt{2}$
C.$2$
D.$\sqrt{2}$

答案： 答案 C
解析 设$MF$的倾斜角为$\alpha$，则$OI$的倾斜角为$\pi-\dfrac{\alpha}{2}$，$OI\perp l_{1}$，
则$\pi-\dfrac{\alpha}{2}-\alpha=\dfrac{\pi}{2}$，
所以$\alpha=\dfrac{\pi}{3}$，所以$\dfrac{b}{a}=\sqrt{3}$，
所以$e=\sqrt{1+\left(\dfrac{b}{a}\right)^{2}}=\sqrt{1+(\sqrt{3})^{2}}=2$.
故选：C
点睛 根据内切圆的性质，内心是角平分线的交点，然后结合垂直就可以求出渐近线的倾斜角，从而再去求离心率.