《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

变式3 如下图所示，在三棱锥$P-ABC$中，已知$M$是$PC$的中点，且$\overrightarrow{BM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}+z\overrightarrow{AP}(x,y,z\in\mathbf{R})$，则()


A.$z=x+y$
B.$x=y+z$
C.$x+y+z=1$
D.$x+y+z=0$

答案： 答案 D
解析 因为$M$是侧棱$PC$的中点，
所以$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BP})$，
又$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}$，
所以$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AP}-2\overrightarrow{AB})$
$=-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AP}$，
又$\overrightarrow{BM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}+z\overrightarrow{AP}$，
所以$x=-1,y=z=\frac{1}{2}$，则$x+y+z=0$.

【例4】 如下图所示，已知点$P$是棱长为$2$的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的底面$A_1B_1C_1D_1$上一点(包括边界)，则$\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PC}$的取值范围是 ()


A.$\left[\frac{1}{2},2\right]$
B.$\left[2,4\right]$
C.$\left[\frac{1}{2},4\right]$
D.$\left[1,4\right]$

答案： 答案 B
解析 由题设，
$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PA_1}+\overrightarrow{A_1A},\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PC_1}+\overrightarrow{C_1C}$，
则$\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PC}=(\overrightarrow{PA_1}+\overrightarrow{A_1A})·(\overrightarrow{PC_1}+\overrightarrow{C_1C})$
$=\overrightarrow{PA_1}·\overrightarrow{PC_1}+\overrightarrow{A_1A}·\overrightarrow{PC_1}+\overrightarrow{PA_1}·\overrightarrow{C_1C}$
$+\overrightarrow{A_1A}·\overrightarrow{C_1C}$.
又$\overrightarrow{A_1A}·\overrightarrow{PC_1}=\overrightarrow{PA_1}·\overrightarrow{C_1C}=0$，
$\overrightarrow{A_1A}·\overrightarrow{C_1C}=4$，
所以$\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PA_1}·\overrightarrow{PC_1}+4$，
而$P$为底面$A_1B_1C_1D_1$上一点(含边界)，
所以$\overrightarrow{PA_1}·\overrightarrow{PC_1}\in\left[-2,0\right]$，
故$\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PC}\in\left[2,4\right]$.
点睛 求解本题关键在于转化$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PA_1}+\overrightarrow{A_1A},\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PC_1}+\overrightarrow{C_1C}$.

变式4 如下图所示，平面$ABCD\perp$平面$ABEF$，四边形$ABCD$是正方形，四边形$ABEF$是矩形，若$G$是$EF$的中点，$AF=1$，$\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BG}=-2$，则三棱锥$C-ABG$的外接球的表面积是 ()


A.$6\pi$
B.$10\pi$
C.$8\pi$
D.$12\pi$

答案： 答案 C
解析 因为$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，
$\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BE}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AF}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，
所以
$\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BG}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})·(\overrightarrow{AF}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB})$，
又$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AD}$两两相互垂直，
所以$\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BG}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}^2=-2$，
即$\overrightarrow{AB}=2$，
所以$AG^2=AF^2+FG^2=2$，
$GC^2=BC^2+BE^2+EG^2=6$，
$AC^2=AB^2+BC^2=8$，
则$\triangle AGC$为直角三角形.
又$\triangle ABC$为直角三角形，所以$AC$为三棱锥$C—ABG$的外接球的直径，则三棱锥$C—ABG$的外接球的表面积
$S=4\pi×\left(\frac{AC}{2}\right)^2=8\pi$.