《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

变式 2 已知$\triangle ABC$的顶点$A(1, 1)$，高$CD$所在直线方程为$3x + y - 12 = 0$，角$B$的平分线$BE$所在直线的方程为$x - 2y + 4 = 0$。则$B$点的坐标为；$BC$边所在直线的方程为。

答案： 答案 $(-8, -2)$；$9x - 13y + 46 = 0$
解析 因为$\triangle ABC$的顶点$A(1, 1)$，高$CD$所在直线方程为$3x + y - 12 = 0$，角$B$的平分线$BE$所在直线方程为$x - 2y + 4 = 0$，所以直线$AB$的斜率$k = -\frac{1}{k_{CD}} = -\frac{1}{-3} = \frac{1}{3}$，所以直线$AB$的方程为$y - 1 = \frac{1}{3}(x - 1)$，即$x - 3y + 2 = 0$，联立$\begin{cases}x - 3y + 2 = 0 \\ x - 2y + 4 = 0\end{cases}$，得$\begin{cases}x = -8 \\ y = -2\end{cases}$，所以$B$点坐标为$(-8, -2)$。
因为$k_{AB} = \frac{1}{3}$，$k_{BE} = \frac{1}{2}$，角$B$的平分线$BE$所在直线方程为$x - 2y + 4 = 0$，所以$\frac{|k_{AB} - k_{BE}|}{|1 + k_{AB} · k_{BE}|} = \frac{|k_{BC} - k_{BE}|}{|1 + k_{BC} · k_{BE}|}$，所以$\frac{|\frac{1}{3} - \frac{1}{2}|}{|1 + \frac{1}{3} × \frac{1}{2}|} = \frac{|k_{BC} - \frac{1}{2}|}{|1 + \frac{1}{2}k_{BC}|}$，解得$k_{BC} = \frac{9}{13}$或$k_{BC} = \frac{1}{3}$(舍)，所以直线$BC$的方程为$y + 2 = \frac{9}{13}(x + 8)$，即$9x - 13y + 46 = 0$。

【例 3】已知直线$ax + 3y + 1 = 0$与$x + (a - 2)y + a = 0$平行，则$a$的值为。

答案： 答案 3
解析 因为两直线平行，则$\frac{a}{1} = \frac{3}{a - 2} \neq \frac{1}{a}(a \neq 0, a \neq 2)$，解得$\begin{cases}a = 3 或 a = -1 \\ a \neq \pm 1\end{cases}$，所以$a = 3$。
点睛 当两直线斜率存在时，两直线平行的等价条件是斜率相等且在$y$轴上的截距不相等，解题时容易忽略在$y$轴上的截距不相等这一限制条件，导致产生增解。而对于两直线垂直的等价条件则是运用直线方程系数公式$A_1A_2 + B_1B_2 = 0$避免失解。

变式 3 直线$(m + 2)x + 3my + 1 = 0$与直线$(m - 2)x + (m + 2)y - 3 = 0$相互垂直，则$m =$。

答案： 答案 $-2$或$\frac{1}{2}$
解析 因为两直线相互垂直，则$(m + 2)(m - 2) + 3m(m + 2) = 0$，则$(m + 2)(4m - 2) = 0$，解得$m = -2$或$m = \frac{1}{2}$。