《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

20. 有圆 $ C:x^2 + y^2 - (1 + a)x - ay + a = 0 $.
(1) 若圆 $ C $ 与 $ x $ 轴相切，求圆 $ C $ 的方程.
(2) 如下图所示，已知 $ a ＞ 1 $，圆 $ C $ 与 $ x $ 轴相交于 $ M $，$ N $（点 $ M $ 在点 $ N $ 的左侧），过点 $ M $ 任作一条直线与圆 $ O:x^2 + y^2 = 4 $ 相交于 $ A $，$ B $ 两点，问：是否存在实数 $ a $，使得 $ \angle ANM = \angle BNM $？若存在，求出实数 $ a $ 的值；若不存在，请说明理由.

答案： 20.
(1)$x^{2} + y^{2} - 2x - y + 1 = 0$
(2)$a = 4$ 解析　
(1)因为$\begin{cases} x^{2} + y^{2} - (1 + a)x - ay + a = 0 \\ y = 0 \end{cases}$，得$x^{2} - (1 + a)x + a = 0$，由题意得$\Delta = (a - 1)^{2} = 0$，所以$a = 1$，故所求圆$C$的方程为$x^{2} + y^{2} - 2x - y + 1 = 0$.
(2)令$y = 0$，得$x^{2} - (1 + a)x + a = 0$，即$(x - 1)(x - a) = 0$，所以$M(1,0)$，$N(a,0)$.假设存在实数$a$，当直线$AB$与$x$轴不垂直时，设直线$AB$的方程为$y = k(x - 1)$，代入$x^{2} + y^{2} = 4$得$(1 + k^{2})x^{2} - 2k^{2}x + k^{2} - 4 = 0$.设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，从而$x_{1} + x_{2} = \frac{2k^{2}}{1 + k^{2}}$，$x_{1}x_{2} = \frac{k^{2} - 4}{1 + k^{2}}$.因为$\frac{y_{1}}{x_{1} - a} + \frac{y_{2}}{x_{2} - a} = k\frac{(x_{1} - 1)(x_{2} - a) + (x_{2} - 1)(x_{1} - a)}{(x_{1} - a)(x_{2} - a)}$，而$(x_{1} - 1)(x_{2} - a) + (x_{2} - 1)(x_{1} - a) = 2x_{1}x_{2} - (a + 1)(x_{1} + x_{2}) + 2a = 2\frac{k^{2} - 4}{1 + k^{2}} - (a + 1)\frac{2k^{2}}{1 + k^{2}} + 2a = \frac{2a - 8}{1 + k^{2}}$，因为$\angle ANM = \angle BNM$，所以$\frac{y_{1}}{x_{1} - a} + \frac{y_{2}}{x_{2} - a} = 0$，即$\frac{2a - 8}{1 + k^{2}} = 0$，得$a = 4$，当直线$AB$与$x$轴垂直时，也成立.故存在$a = 4$，使得$\angle ANM = \angle BNM$.

21. 在柯桥古镇的开发中，为保护古桥 $ OA $，规划在 $ O $ 的正东方向 $ 100m $ 的 $ C $ 处向对岸 $ AB $ 建一座新桥，使新桥 $ BC $ 与河岸 $ AB $ 垂直，并设立一个以线段 $ OA $ 上一点 $ M $ 为圆心，与直线 $ BC $ 相切的圆形保护区（如下图所示），且古桥两端 $ O $ 和 $ A $ 与圆上任意一点的距离都不小于 $ 50m $，经测量，点 $ A $ 位于点 $ O $ 正南方向 $ 25m $，$ \tan \angle BCO = \frac{4}{3} $，建立如图所示直角坐标系.

答案： 解：
1. 建立坐标系及点坐标
以 $ O $ 为原点，正东为 $ x $ 轴正方向，正北为 $ y $ 轴正方向，得：
$ O(0,0) $，$ A(0,-25) $（$ A $ 在 $ O $ 正南25m），$ C(100,0) $（$ C $ 在 $ O $ 正东100m）。
2. 求点 $ B $ 坐标
设 $ B(100-3k,-4k) $（$ k＞0 $，由 $ \tan\angle BCO=\frac{4}{3} $ 及 $ B $ 在南岸）。
直线 $ BC $ 斜率 $ k_{BC}=\frac{0-(-4k)}{100-(100-3k)}=\frac{4}{3} $，直线 $ AB $ 斜率 $ k_{AB}=\frac{-4k-(-25)}{100-3k-0}=\frac{-4k+25}{100-3k} $。
由 $ AB\perp BC $ 得 $ k_{AB}· k_{BC}=-1 $，即 $ \frac{-4k+25}{100-3k}·\frac{4}{3}=-1 $，解得 $ k=16 $。
故 $ B(52,-64) $。
3. 直线 $ BC $ 方程
由 $ B(52,-64) $，$ C(100,0) $，得 $ BC $ 方程：$ 4x-3y-400=0 $。
4. 圆心 $ M $ 及半径 $ r $
设 $ M(0,m) $（$ m\in[-25,0] $，线段 $ OA $ 上），圆与 $ BC $ 相切，半径 $ r=\frac{|3m+400|}{5}=\frac{3m+400}{5} $（$ 3m+400＞0 $）。
5. 距离条件
古桥两端 $ O,A $ 与圆上点距离≥50m，即最小距离≥50：
$ O $ 到圆最小距离：$ r-|OM|=\frac{3m+400}{5}-(-m)\geq50 \Rightarrow m\geq-\frac{75}{4} $；
$ A $ 到圆最小距离：$ r-|AM|=\frac{3m+400}{5}-(25+m)\geq50 \Rightarrow m\leq0 $。
综上，$ m\in\left[-\frac{75}{4},0\right] $。
结论：圆心 $ M $ 在线段 $ OA $ 上，纵坐标 $ m $ 的取值范围为 $ \left[-\frac{75}{4},0\right] $。