《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

变式6 已知球$O$是棱长为$2$的正八面体(八个面都是全等的等边三角形)的内切球，$MN$为球$O$的一条直径，点$P$为正八面体表面上的一个动点，则$\overrightarrow{PM}·\overrightarrow{PN}$的取值范围是.

答案：
答案 $\left[0,\frac{4}{3}\right]$
解析 如下图所示，设已知正八面体$SABCDI$，易知$SI\perp$平面$ABCD$于球心$O$，且点$O$为正方形$ABCD$的中心，设内切球与正四棱锥$S—ABCD$的侧面$SBC$相切于点$F$，延长$SF$交$BC$于点$E$.

连接$OE,OF$，则$OE=1,SE=\sqrt{3},SO=\sqrt{2}$.
由$S_{\triangle SOE}=\frac{1}{2}SE· OF=\frac{1}{2}SO· OE$，得
$OF=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
即正八面体的内切球的半径为$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
所以$\overrightarrow{PM}·\overrightarrow{PN}$
$=(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OM})·(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{ON})$
$=(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OM})·(\overrightarrow{PO}-\overrightarrow{OM})$
$=\overrightarrow{PO}^2-\overrightarrow{OM}^2$
$=\overrightarrow{PO}^2-\frac{2}{3}$.
因为$P$为正八面体表面上的任意一点
则$|\overrightarrow{PO}|\in\left[\frac{\sqrt{6}}{3},\sqrt{2}\right]$，
所以$\overrightarrow{PO}^2-\frac{2}{3}\in\left[0,\frac{4}{3}\right]$.
即$\overrightarrow{PM}·\overrightarrow{PN}$的取值范围是$\left[0,\frac{4}{3}\right]$.