《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

【例 4】如下图所示，已知二次函数 $y = x^2 - 2x + m(m \neq 0)$ 交 $x$ 轴于 $A$，$B$ 两点($A$，$B$ 不重合)，交 $y$ 轴于点 $M$。圆 $C$ 过 $A$，$B$，$M$ 三点。下列说法中正确的是()


A.圆心 $C$ 在直线 $x = 1$ 上
B.$m$ 的取值范围是 $(0,1)$
C.圆 $C$ 半径的最小值为 $1$
D.存在定点 $N$，使得圆 $C$ 恒过点 $N$

答案： 答案 AD
解析 对于 $A$，因为 $y = x^2 - 2x + m(m \neq 0)$ 对称轴为 $x = 1$，所以过 $A$，$B$ 两点的圆的圆心必在线段 $AB$ 的中垂线，即 $x = 1$ 上，$A$ 正确。
对于 $B$，因为 $y = x^2 - 2x + m(m \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$，$B$ 两点，所以 $\Delta = 4 - 4m ＞ 0$，解得 $m ＜ 1$，即 $m ＜ 1$ 且 $m \neq 0$，$B$ 错误。
对于 $C$，设 $A$ 在 $B$ 左侧，由 $x^2 - 2x + m = 0$ 得：$x = 1 \pm \sqrt{1 - m}$，则 $A(1 - \sqrt{1 - m},0)$，设圆 $C:(x - 1)^2 + (y - b)^2 = r^2$，又 $M(0,m)$，有 $\begin{cases}1 - m + b^2 = r^2\\1 + (m - b)^2 = r^2\end{cases}$，解得：$\begin{cases}b = \frac{m + 1}{2}\\r^2 = \frac{1}{4}(m - 1)^2 + 1\end{cases}$，因为 $m ＜ 1$ 且 $m \neq 0$，所以 $r ＞ 1$，$C$ 错误。
对于 $D$，由 $C$ 可知，圆 $C$：$(x - 1)^2 + (y - \frac{m + 1}{2})^2 = \frac{1}{4}(m - 1)^2 + 1$，即 $x^2 - 2x + y^2 - (m + 1)y + m = 0$，所以 $(1 - y)m + (x^2 - 2x + y^2 - y) = 0$，令 $y = 1$，解得：$x = 0$ 或 $x = 2$，所以圆 $C$ 恒过定点 $N(0,1)$ 或 $N(2,1)$，$D$ 正确。

变式 4 如果直线 $2ax - by + 14 = 0(a ＞ 0,b ＞ 0)$ 和函数 $f(x) = m^{x + 1} + 1(m ＞ 0,m \neq 1)$ 的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆 $(x - a + 1)^2 + (y + b - 2)^2 = 25$ 的内部或圆上，那么 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是()

A.$[\frac{3}{4},\frac{4}{3})$
B.$(\frac{3}{4},\frac{4}{3}]$
C.$[\frac{3}{4},\frac{4}{3}]$
D.$(\frac{3}{4},\frac{4}{3})$

答案：
答案 C
解析 函数 $f(x) = m^{x + 1} + 1$ 恒过定点 $(-1,2)$。将点 $(-1,2)$ 代入直线 $2ax - by + 14 = 0$ 可得 $-2a - 2b + 14 = 0$，即 $a + b = 7(a ＞ 0,b ＞ 0)$。由点 $(-1,2)$ 在圆内部或圆上可得 $(-1 - a + 1)^2 + (2 + b - 2)^2 \leq 25$，即 $a^2 + b^2 \leq 25(a ＞ 0,b ＞ 0)$。联立 $\begin{cases}a + b = 7\\a^2 + b^2 = 25\end{cases}$ $\Rightarrow$ $\begin{cases}a = 3\\b = 4\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a = 4\\b = 3\end{cases}$，所以点 $(a,b)$ 在以 $A(3,4)$ 和 $B(4,3)$ 为端点的线段上运动，如下图所示。$\frac{b}{a}$ 表示线段 $AB$ 上的点与坐标原点连线的斜率。所以 $(\frac{b}{a})_{min} = \frac{3 - 0}{4 - 0} = \frac{3}{4}$，$(\frac{b}{a})_{max} = \frac{4 - 0}{3 - 0} = \frac{4}{3}$。所以 $\frac{3}{4} \leq \frac{b}{a} \leq \frac{4}{3}$。

点睛 由已知可得 $a + b = 7(a ＞ 0,b ＞ 0)$。再由点 $(-1,2)$ 在圆 $(x - a + 1)^2 + (y + b - 2)^2 = 25$ 内部或圆上可得 $a^2 + b^2 \leq 25(a ＞ 0,b ＞ 0)$。由此可解得点 $(a,b)$ 在以 $A(3,4)$ 和 $B(4,3)$ 为端点的线段上运动。由 $\frac{b}{a}$ 表示线段 $AB$ 上的点与坐标原点连线的斜率可得选项。