《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

[例5]如下图所示，在三棱柱ABC一
AlBlC1中，四边形ABBlA1为矩形,BC=
BB1=2AB=2,∠CBB1=120°,点E为棱
CC1的中点,AE=2.

(1)求证:平面ABC⊥平面BCClB1;
(2)求平面AEB与平面AlEB1夹角的
余弦值.

答案：
答案
(1)证明略
(2)$\frac{√21}{7}$
解析
(1)由三棱柱的性质及BC=BB1
=2,可知四边形BCClB1为菱形，
又因为∠CBB1=120°,
所以△CBC1为等边三角形，
所以BE=√3,AB=1,
又因为AE=2,
所以AE²=BE²+AB2,所以AB⊥BE,
因为四边形ABBA1为矩形，
所以AB⊥BB,
又BE∩BB1=B,
所以AB⊥平面BCClB1，
又因为ABC平面ABC，
所以平面ABC⊥平面BCClB.
(2)以B为原点,BE为x轴,BB1为y 轴，BA为z轴建立空间直角坐标系，如下图
所示,则A(0,0,1),E(√3,0,0),B1(0,2,0),
A1(0,2,1),

所以向量A1B1=(0,0,−1)，
EB=(−√3,2,0),
设平面A1EB1的法向量为
n=(x,y,z),
则{AE1BB1..nn==00,,即{z−=√03x,+2y=0,
所以n=(2,√3,0),
又平面ABE的法向量为n1=(0,1,0),
所以|cos＜n,n1＞|=$\frac{n.n|}{n||n|}$=$\frac{√3}{√4+3×1}$,
所以平面ABE与平面AlEB1夹角的余弦值
为$\frac{√21}{7}$.
点睛 证明面面垂直，一般先证线面垂
直再得到面面垂直;空间向量法求二面角的
平面角，主要是先求出空间两个面的法向量，
然后求法向量的夹角的余弦值即可.