《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

变式 6 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点 $A$，$B$ 及动点 $P$，若 $\frac{|PB|}{|PA|} = \lambda(\lambda ＞ 0$ 且 $\lambda \neq 1)$，则点 $P$ 的轨迹是圆。后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆(简称“阿氏圆”)。在平面直角坐标系中，已知 $O(0,0)$，$Q(0,\sqrt{2})$，直线 $l_1:kx - y + k + 3 = 0$，直线 $l_2:x + ky + 3k + 1 = 0$，若 $P$ 为 $l_1$，$l_2$ 的交点，则 $\frac{3}{2}|PO| + \frac{1}{2}|PQ|$ 的最小值为()

A.$\frac{\sqrt{66}}{2}$
B.$6 - 3\sqrt{2}$
C.$9 - 3\sqrt{2}$
D.$\sqrt{66}$

答案：
答案 A
解析 当 $k = 0$ 时，$l_1:y = 3$，$l_2:x = -1$，此时 $l_1 \perp l_2$，交点为 $P(-1,3)$。当 $k \neq 0$ 时，由 $l_1:kx - y + k + 3 = 0$，斜率为 $k$，由 $l_2:x + ky + 3k + 1 = 0$，斜率为 $-\frac{1}{k}$，所以 $l_1 \perp l_2$。综上，$l_1 \perp l_2$。又 $l_1:k(x + 1) - y + 3 = 0$，所以直线 $l_1$ 恒过 $E(-1,3)$，$l_2:x + 1 + k(y + 3) = 0$，所以直线 $l_2$ 恒过 $F(-1,-3)$，若 $P$ 为 $l_1$，$l_2$ 的交点，则 $PE \perp PF$。设点 $P(x,y)$，所以点 $P$ 的轨迹是以 $EF$ 为直径的圆，除去 $F$ 点，则圆心为 $EF$ 的中点 $C(-1,0)$，圆的半径为 $r = \frac{|AB|}{2} = 3$，故 $P$ 的轨迹方程为 $(x + 1)^2 + y^2 = 9(y \neq -3)$，即 $x^2 + y^2 + 2x = 8(y \neq -3)$，则有 $y^2 = -x^2 - 2x + 8$。又 $O(0,0)$，$Q(0,\sqrt{2})$，易知 $O$、$Q$ 在该圆内，又由题意可知圆 $C$ 上一点 $P_1(2,0)$ 满足 $|P_1O| = 2$，取 $D(8,0)$，则 $|P_1D| = 6$，满足 $\frac{|P_1D|}{|P_1O|} = 3$。下面证明任意一点 $P(x,y)$ 都满足 $\frac{|PD|}{|PO|} = 3$，即 $|PD| = 3|PO|$。因为 $3|PO| = \sqrt{9(x^2 + y^2)} = \sqrt{9(x^2 - x^2 - 2x + 8)} = \sqrt{9(-2x + 8)}$，又 $|PD| = \sqrt{(x - 8)^2 + y^2} = \sqrt{(x - 8)^2 - x^2 - 2x + 8} = \sqrt{-18x + 72} = \sqrt{9(-2x + 8)}$，所以 $3|PO| = |PD|$。所以 $3|PO| + |PQ| = |PD| + |PQ| \geq |DQ|$，又 $|DQ| = \sqrt{(8 - 0)^2 + (0 - \sqrt{2})^2} = \sqrt{66}$，所以 $\frac{3}{2}|PO| + \frac{1}{2}|PQ| \geq \frac{\sqrt{66}}{2}$。如下图所示，当且仅当 $D$，$P$，$Q$ 三点共线，且 $P$ 位于 $D$，$Q$ 之间时，等号成立，即 $\frac{3}{2}|PO| + \frac{1}{2}|PQ|$ 最小值为 $\frac{\sqrt{66}}{2}$。

点睛 本题的背景是阿波罗尼斯圆，可采用直接法，设动点坐标 $(x,y)$，列出方程即可得轨迹是圆。
常用求轨迹的方法：
定义法。根据题目所给的几何条件判断动点满足哪类常见轨迹，确定相应基本量得出方程。
参数法。找出动点纵横坐标与第三变量的关系，消参后得出方程。
转译法。找出动点与相关点的坐标关系，利用相关点的方程得出动点的轨迹方程。
几何法。建系设点，由题设所给出的几何等式，转化为代数等式，整理可得方程。