《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

变式6 如下图所示，为保护河上古桥$OA$，规划建一座新桥$BC$，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥$BC$与河岸$AB$垂直；保护区的边界为圆心$M$在线段$OA$上，并与$BC$相切的圆，且古桥两端$O$和$A$到该圆上任意一点的距离均不小于$80m$.经测量，点$A$位于点$O$正北方向$60m$处，点$C$位于点$O$正东方向$170m$处($OC$为河岸)，$\tan \angle BCO = \frac{4}{3}$，则新桥$BC$的长度为.

答案： 答案 $150m$
解析 如图所示，以$O$为坐标原点，$OC$为$x$轴，建立平面直角坐标系$xOy$.
由条件知，$A(0, 60)$，$C(170, 0)$，因为直线$BC$的斜率为$k_{BC} = -\tan \angle BCO = -\frac{4}{3}$，
又$AB \perp BC$，
所以直线$AB$的斜率$k_{AB} = \frac{3}{4}$，
设点$B$的坐标为$(a, b)$，
则$k_{BC} = \frac{b - 0}{a - 170} = -\frac{4}{3}$，
$k_{AB} = \frac{b - 60}{a - 0} = \frac{3}{4}$，
联立解得$a = 80$，$b = 120$，
故$B(80, 120)$，
所以$|BC| = \sqrt{(170 - 80)^2 + (0 - 120)^2} = 150$.
故答案为：$150m$.

【例7】已知$A(\sqrt{3}, 0)$，$B(2, 1)$，直线$l$过点$P(0, -1)$，若直线$l$与线段$AB$总有公共点，则直线$l$的斜率的取值范围是，其倾斜角$\alpha$的取值范围是.

答案： 答案 $\left[\frac{\sqrt{3}}{3}, 1\right]$；$\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right]$
解析 由斜率公式可得，$k_{AP} = \frac{0 - (-1)}{\sqrt{3} - 0} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，$k_{BP} = \frac{1 - (-1)}{2 - 0} = 1$，故直线$l$的斜率的取值范围为$\left[\frac{\sqrt{3}}{3}, 1\right]$，由斜率与倾斜角的公式可得，直线$AP$的倾斜角为$\frac{\pi}{6}$，直线$BP$的倾斜角为$\frac{\pi}{4}$，故直线$l$的倾斜角$\alpha$的取值范围为$\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right]$.
点睛 斜率的大小与正切函数之间的关系是用倾斜角$\alpha$来联系的，可以由倾斜角的变化得出斜率的变化.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线的位置.