《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

变式 6 已知圆 $ C:x^2 + y^2 - 8x + 15 = 0 $. 若直线 $ y = kx + 2 $ 上至少存在一点 $ P $，使得以点 $ P $ 为圆心，半径为 $ 1 $ 的圆与圆 $ C $ 有公共点，则实数 $ k $ 的最小值是()

A.$ -\frac{4}{3} $
B.$ -\frac{5}{4} $
C.$ -\frac{3}{5} $
D.$ -\frac{5}{3} $

答案： 答案 A
解析 圆 $ C $ 的方程为 $ x^2 + y^2 - 8x + 15 = 0 $，整理得 $ (x - 4)^2 + y^2 = 1 $，所以圆 $ C $ 的圆心为 $ C(4,0) $，半径为 $ r = 1 $. 又因为直线 $ y = kx + 2 $ 上至少存在一点 $ P $，使得以点 $ P $ 为圆心，半径为 $ 1 $ 的圆与圆 $ C $ 有公共点，所以点 $ C $ 到直线 $ y = kx + 2 $ 的距离小于或等于 $ 2 $，即 $ \frac{|4k - 0 + 2|}{\sqrt{k^2 + (-1)^2}} \leq 2 $，化简得 $ 3k^2 + 4k \leq 0 $，解得 $ -\frac{4}{3} \leq k \leq 0 $，所以实数 $ k $ 的最小值是 $ -\frac{4}{3} $.

1. 若直线 $ x - y + a = 0 $ 平分圆 $ x^2 + y^2 - 4x + 6y + 1 = 0 $ 的面积，则 $ a $ 的值为()

A.$ 1 $
B.$ -1 $
C.$ 5 $
D.$ -5 $

答案： 1.D　解析　由题意可知，直线经过圆的圆心(2，−3)，可得a = −5.

2. “$ a = b $” 是 “直线 $ y = x + 2 $ 与圆 $ (x - a)^2 + (y - b)^2 = 2 $ 相切” 的()

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 2.A　解析　圆心(a,b)，由点到直线距离公式得$d = \frac{|a - b + 2|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \sqrt{2}$，即$|a - b + 2| = 2$，解得$a - b = 0$或$a - b = - 4$.

3. 圆 $ (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 16 $ 上到直线 $ 3x - 4y + 7 = 0 $ 的距离等于 $ 2 $ 的点有()

A.$ 4 $ 个
B.$ 3 $ 个
C.$ 2 $ 个
D.$ 1 $ 个

答案： 3.B　解析　由题意知：圆的圆心为(−3,2)，半径$R = 4$，由点(圆心)到直线距离公式得$d = \frac{| - 9 - 8 + 7|}{5} = 2$，结合图形易知满足条件的点有3个.

4. 过直线 $ y = x $ 上任一点作圆 $ (x - 5)^2 + (y - 1)^2 = 2 $ 的两条切线 $ l_1 $，$ l_2 $，当 $ l_1 $，$ l_2 $ 关于直线 $ y = x $ 对称时，它们的夹角为()

A.$ 30° $
B.$ 45° $
C.$ 60° $
D.$ 90° $

答案： 4.C　解析　由题意可知$l_{1},l_{2}$关于直线$y = x$对称时，该点与圆心(5,1)的连线平分两切线的夹角，由点(圆心)到直线距离公式得$d = \frac{|5 - 1 + 0|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = 2\sqrt{2}$，且圆的半径为$r = \sqrt{2}$，故有$\sin\theta = \frac{1}{2}$，得$\theta = 30^{\circ}$，故所求的角$2\theta = 60^{\circ}$.

5. 若直线 $ y = x + m $ 与曲线 $ x = \sqrt{1 - y^2} $ 只有一个公共点，则实数 $ m $ 的取值范围是()

A.$ m = \pm\sqrt{2} $
B.$ m \geq \sqrt{2} $ 或 $ m \leq -\sqrt{2} $
C.$ -\sqrt{2} ＜ m ＜ \sqrt{2} $
D.$ -1 ＜ m \leq 1 $ 或 $ m = -\sqrt{2} $

答案：
5.D　解析　如下图所示，当动直线$y = x + m$位于$A(0,1)$时，$m = 1$；
　　　　　　　
当动直线$y = x + m$位于$B(1,0)$时，$m = - 1$；当动直线$y = x + m$与圆相切时，$m = - \sqrt{2}$；
故要满足题设，则$- 1 ＜ m \leq 1$或$m = - \sqrt{2}$.