《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

1. 以双曲线$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是 (D)

A.$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$
B.$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{8} = 1$
C.$\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{4} = 1$
D.$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$

答案： 1.D 解析 双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$的焦点为$(-4,0)$，$(4,0)$，顶点为$(-2,0)$，$(2,0)$，所以椭圆的焦点坐标为$(-2,0)$，$(2,0)$，顶点为$(-4,0)$，$(4,0)$，因此椭圆的方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$。

2. 已知圆$C_1:(x + 3)^2 + y^2 = 1$和圆$C_2:(x - 3)^2 + y^2 = 9$，若动圆$M$同时与圆$C_1$及圆$C_2$相外切，则动圆圆心$M$的轨迹方程为 (B)

A.$x^2 - \frac{y^2}{8} = 1$
B.$x^2 - \frac{y^2}{8} = 1(x \leq -1)$
C.$\frac{x^2}{8} + y^2 = 1$
D.$x^2 - \frac{y^2}{8} = 1(x \geq 1)$

答案： 2.B 解析 设动圆$M$的半径为$r$，由题意得$|MC_1|=r+1$，$|MC_2|=r+3$，两式相减可得$|MC_2|-|MC_1|=2＜|C_1C_2|=6$，所以点$M$的轨迹是以$C_1$，$C_2$为焦点的双曲线的左支，且$a=1$，$c=3$，所以$b=\sqrt{c^2-a^2}=2\sqrt{2}$，故点$M$的轨迹方程为$x^2-\frac{y^2}{8}=1(x\leq -1)$。

3. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与$\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$相关的代数问题，可以转化为点$A(x,y)$与点$B(a,b)$之间的距离的几何问题，结合上述观点，可得方程$\sqrt{x^2 + 4x + 5} - \sqrt{x^2 - 4x + 5} = 2$的解是(C)

A.$x = \frac{\sqrt{3}}{6}$
B.$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$x = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
D.$x = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

答案：
3.C 解析1 由$\sqrt{x^2+4x+5}-\sqrt{x^2-4x+5}=2$，得$\sqrt{x^2+4x+5}=2+\sqrt{x^2-4x+5}$，得$x^2+4x+5=4+4\sqrt{x^2-4x+5}+x^2-4x+5$，即$2x-1=\sqrt{x^2-4x+5}$，平方得$x^2-4x+5=4x^2-4x+1$，解得$x=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$(舍负)。
解析2 $\sqrt{x^2+4x+5}-\sqrt{x^2-4x+5}=\sqrt{(x-2)^2+(0-1)^2}-\sqrt{(x+2)^2+(0-1)^2}=2$可理解为：点$(x,0)$到$(-2,1)$，$(2,1)$的距离差为$2$，把所有的点向下平移一个单位，如下图所示。

设$P(x,-1)$，$F_1(-2,0)$，$F_2(2,0)$，则$|PF_1|-|PF_2|=2$，所以点$P$的轨迹是以$F_1$，$F_2$为焦点的双曲线的右支，$a=1$，$c=2$，则$b^2=3$，所以双曲线的方程为$x^2-\frac{y^2}{3}=1(x\geq1)$，又因为点$P(x,-1)$，所以联立$\begin{cases}x^2-\frac{y^2}{3}=1\\y=-1\end{cases}$，解得$x=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$(舍负)。

4. 在平面直角坐标系$xOy$中，$O$为坐标原点，双曲线$x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$的右焦点为$F$，则以$F$为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆方程为 (D)

A.$x^2 + y^2 + 4x + 1 = 0$
B.$x^2 + y^2 + 4x + 3 = 0$
C.$x^2 + y^2 - 4x - 1 = 0$
D.$x^2 + y^2 - 4x + 1 = 0$

答案： 4.D 解析 由已知得：$F(2,0)$，其中一渐近线方程为$\sqrt{3}x-y=0$，则点$F(2,0)$到渐近线的距离为$d=\sqrt{3}$，故所求的圆方程为$(x-2)^2+y^2=3$，即$x^2+y^2-4x+1=0$。

5. 已知双曲线$x^2 - 5y^2 = 25$上一点$P$到其左焦点$F_1$的距离为$8$，则$PF_1$的中点$M$到坐标原点$O$的距离为 (A)

A.$9$
B.$6$
C.$5$
D.$4$

答案：
5.A 解析 双曲线标准方程为$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{5}=1$，$a=5$，记双曲线的右焦点为$F_2$。因为$|PF_1|=8＜10$，所以点$P$在左支上，如下图所示，连接$PF_2$，$OM$。

由定义知$|PF_2|-|PF_1|=10$，则$|PF_2|=18$，所以$|OM|=\frac{1}{2}|PF_2|=9$。

6. 已知定点$P(m,0)$，动点$Q$在圆$x^2 + y^2 = 16$上，$PQ$的垂直平分线交直线$OQ$于点$M$，若动点$M$的轨迹是双曲线，则$m$的值可以是(A)

A.$5$
B.$4$
C.$3$
D.$2$

答案：
6.A 解析 如下图所示，因为$|MQ|=|MP|$，且点$M$的轨迹为双曲线。

所以$|MP|-|OM|=|OQ|=4＜|OP|$，所以$|m|＞4$。

7. 已知点$O(0,0)$，$A(-\sqrt{3},0)$，$B(\sqrt{3},0)$，设点$P$满足$|PA| - |PB| = 2$，且$P$为函数$y = \sqrt{4 - 2x^2}$图像上的点，则$|OP| =$(C)

A.$\sqrt{10}$
B.$\frac{5}{2}$
C.$\frac{\sqrt{10}}{2}$
D.$\frac{2\sqrt{6}}{3}$

答案： 7.C 解析 若$P$的轨迹是双曲线的右支，$a=1$，$c=\sqrt{3}$，则$b^2=c^2-a^2=2$，所以双曲线的方程为$x^2-\frac{y^2}{2}=1(x\geq1)$；由$y=\sqrt{4-2x^2}$，整理得$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1(y\geq0)$，所以$P$为椭圆$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1(y\geq0)$上的点，由$\begin{cases}x^2-\frac{y^2}{2}=1(x\geq1)\\x^2=\frac{3}{2}\end{cases}$，得$\begin{cases}x^2=\frac{3}{2}\\y^2=1\end{cases}$，所以$|OP|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$。

8. 已知$F_1$、$F_2$分别为双曲线$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{6} = 1$的左、右焦点，$M$为双曲线右支上一点且满足$\overrightarrow{MF_1} · \overrightarrow{MF_2} = 0$，若直线$MF_2$与双曲线的另一个交点为$N$，则$\triangle MF_1N$的面积为(C)

A.$12$
B.$12\sqrt{2}$
C.$24$
D.$24\sqrt{2}$

答案：
8.C 解析 如下图所示，设$|MF_1|=m$，$|MF_2|=n$，由双曲线的定义：$m - n = 4$。

又$MF_1\perp MF_2$，所以$m^2 + n^2 = 40$，联立解得$m = 6$，$n = 2$，设$|NF_2|=t$，则$|NF_1|=2a + t = 4 + t$，在$ Rt\triangle NMF_1$中可得$(4 + t)^2=(t + 2)^2 + 6^2$，解得$t = 6$，所以$|MN|=6 + 2 = 8$，所以$S=\frac{1}{2}|MN|·|MF_1|=\frac{1}{2}×8×6 = 24$。

9. 已知方程$\frac{x^2}{4 - t} + \frac{y^2}{t - 1} = 1$表示的曲线为$C$，则以下四个判断正确的是 (BCD)

A.当$1 ＜ t ＜ 4$时，曲线$C$表示椭圆
B.当$t ＞ 4$或$t ＜ 1$时，曲线$C$表示双曲线
C.若曲线$C$表示焦点在$x$轴上的椭圆，则$1 ＜ t ＜ \frac{5}{2}$
D.若曲线$C$表示焦点在$y$轴上的双曲线，则$t ＞ 4$

答案： 9.BCD 解析 若曲线$C:\frac{x^2}{4-t}+\frac{y^2}{t-1}=1$表示椭圆，则$\begin{cases}4-t＞0\\t-1＞0\\4-t\neq t-1\end{cases}$，所以$1＜t＜4$且$t\neq\frac{5}{2}$，故A不正确；若曲线$C:\frac{x^2}{4-t}+\frac{y^2}{t-1}=1$表示双曲线，则$(4 - t)(t - 1)＜0$，所以$t＜1$或$t＞4$，故B正确；若曲线$C:\frac{x^2}{4-t}+\frac{y^2}{t-1}=1$表示焦点在$x$轴上的椭圆，则$\begin{cases}4-t＞0\\t-1＞0\\4-t＞t-1\end{cases}$，所以$1＜t＜\frac{5}{2}$，故C正确；若曲线$C:\frac{x^2}{4-t}+\frac{y^2}{t-1}=1$表示焦点在$y$轴上的双曲线，则$\begin{cases}t-1＞0\\4-t＜0\end{cases}$，所以$t＞4$，故D正确。