《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

【例 1】求与双曲线$\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{4}=1$有共同渐近线，且经过点$M\left(\dfrac{9}{2},-1\right)$的双曲线的标准方程.

答案： 答案 $\dfrac{x^{2}}{18}-\dfrac{y^{2}}{8}=1$
解析 1 因为$M\left(\dfrac{9}{2},-1\right)$在第四象限，
双曲线的渐近线为$y=\pm\dfrac{2}{3}x$，
将点$M$的横坐标$x=\dfrac{9}{2}$代入得
$y=-\dfrac{2}{3}x=-3＜-1$，
所以双曲线的焦点必在$x$轴上，
所以设双曲线方程为
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$，
所以$\begin{cases}\dfrac{b}{a}=\dfrac{2}{3},\\\dfrac{\left(\dfrac{9}{2}\right)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(-1)^{2}}{b^{2}}=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a^{2}=18,\\b^{2}=8,\end{cases}$
所以双曲线方程为$\dfrac{x^{2}}{18}-\dfrac{y^{2}}{8}=1$.
解析 2 所求双曲线与已知双曲线有共同的渐近线$y=\pm\dfrac{2}{3}x$，所以设双曲线方程为
$\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{4}=\lambda(\lambda\neq0)$，
所以$\dfrac{\left(\dfrac{9}{2}\right)^{2}}{9}-\dfrac{(-1)^{2}}{4}=\lambda$，所以$\lambda=2$，
故所求双曲线方程为$\dfrac{x^{2}}{18}-\dfrac{y^{2}}{8}=1$.
点睛 求双曲线方程通常运用待定系数法.

变式 1 已知双曲线$C$与双曲线$\dfrac{y^{2}}{3}-\dfrac{x^{2}}{2}=1$有相同的焦点，且其中一条渐近线方程为$y=-2x$，则双曲线$C$的标准方程是()
A.$\dfrac{y^{2}}{4}-\dfrac{x^{2}}{3}=1$
B.$\dfrac{y^{2}}{2}-x^{2}=1$
C.$\dfrac{y^{2}}{8}-\dfrac{x^{2}}{2}=1$
D.$\dfrac{y^{2}}{4}-x^{2}=1$

答案： 答案 D
解析 双曲线$C$与双曲线$\dfrac{y^{2}}{3}-\dfrac{x^{2}}{2}=1$有相同的焦点，所以可设双曲线$C$的方程为
$\dfrac{y^{2}}{3 - k}-\dfrac{x^{2}}{2 + k}=1$，
则双曲线$C$的渐近线方程为
$y=\pm\sqrt{\dfrac{3 - k}{2 + k}}x$，
又因为双曲线$C$的一条渐近线方程为$y=-2x$，则$\sqrt{\dfrac{3 - k}{2 + k}}=2$，解得$k=-1$，
则双曲线$C$的标准方程是$\dfrac{y^{2}}{4}-x^{2}=1$.
【方法总结】利用几何性质求双曲线的标准方程的步骤：
(1) 定位置. 判断焦点的位置是在$x$轴，$y$轴，还是两个坐标轴上都有可能.
(2) 设方程. 根据上述判断设方程
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$
或$\dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$.
特别地，
① 当双曲线的焦点不确定时，可假设双曲线的一般方程为$mx^{2}+ny^{2}=1(mn＜0)$；
② 与双曲线$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$有公共焦点的双曲线可假设为：$\dfrac{x^{2}}{a^{2}+\lambda}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}-\lambda}=1(a＞0,b＞0,-a^{2}＜\lambda＜b^{2},\lambda\neq0)$；
③ 与双曲线$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$有公共渐近线的双曲线可假设为：$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=\lambda(a＞0,b＞0,\lambda\neq0)$.
(3) 找关系. 根据已知条件，建立关于$a$，$b$，$c$的方程组.
(4) 解方程. 解方程组，将解代入所设方程中，即为所求.