《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

16. 已知直线$l_1$经过点$A(3, a)$，$B(a - 2, 3)$，直线$l_2$经过点$C(2, 3)$，$D(-1, a - 2)$.
(1)若$l_1 \perp l_2$，求$a$的值；
(2)若$l_1$的倾斜角为锐角，求$a$的取值范围.

答案： 16.
(1)$0$或$5$
(2)$(3,5)$ 解析
(1)当$a = 5$时，直线$l_1$的斜率不存在，此时直线$l_2$的斜率为$0$，满足$l_1\perp l_2$；当$a\neq5$时，由$l_1\perp l_2$，可得$k_1× k_2 = -1$，即$\frac{3 - a}{a - 5}·\frac{a - 5}{-3}=-1$，解得$a = 0$，所以当$l_1\perp l_2$时，$a$的值是$0$或$5$.
(2)因为直线$l_1$经过点$A(3,a)$、$B(a - 2,3)$，所以直线$l_1$的斜率$k=\frac{3 - a}{a - 5}$，又因为直线$l_1$的倾斜角为锐角，所以$k＞0$，即$\frac{3 - a}{a - 5}＞0$，解得$3＜a＜5$，故$a$的取值范围是$(3,5)$.

17. 已知四边形$ABCD$的顶点$A(m, n)$，$B(5, -1)$，$C(4, 2)$，$D(2, 2)$，求$m$和$n$的值，使四边形$ABCD$为直角梯形.

答案：
17.$m = 2$，$n = -1$，或$m=\frac{16}{5}$，$n=-\frac{8}{5}$ 解析 由题意可知，$k_{BC}=\frac{2 - (-1)}{4 - 5}=-3$，$k_{CD}=\frac{2 - 2}{2 - 4}=0$，$k_{BC}· k_{CD}=0\neq -1$，所以直线$BC$与$CD$不垂直.因为四边形$ABCD$为梯形，所以有两种情况，如下图所示：

①$AB// CD$；$AD\perp AB$，则$A(2,-1)$，$m = 2$，$n = -1$.②$AD// BC$，$AD\perp AB$，则$\begin{cases}k_{AD}=k_{BC}\\k_{AD}· k_{AB}=-1\end{cases}$，$\begin{cases}\frac{n - 2}{m - 2}=-3\frac{n - 2}{m - 2}·\frac{n + 1}{m - 5}=-1\end{cases}$，$n=\frac{8}{5}$综上，$m = 2$，$n = -1$，或$m=\frac{16}{5}$，$n=-\frac{8}{5}$.

18. 已知两点$A(-2, 1)$，$B(3, 4)$，过点$P(-1, 0)$的直线$l$与线段$AB$有公共点.
(1)求直线$l$的斜率$k$的取值范围；
(2)求直线$l$的倾斜角$\alpha$的范围.

答案：
18.
(1)$k\leq -1$或$k\geq1$
(2)$45^{\circ}\leq\alpha\leq135^{\circ}$ 解析
(1)如下图所示，由题意可知$k_{PA}=\frac{1 - 0}{-2 - (-1)}=-1$，$k_{PB}=\frac{4 - 0}{3 - (-1)}=1$，则直线$l$的斜率$k$的取值范围是$k\leq -1$或$k\geq1$.

(2)由题意可知，直线$l$的倾斜角$\alpha$介于直线$PB$与$PA$的倾斜角之间，又$PB$与$PA$的倾斜角分别是$45^{\circ}$，$135^{\circ}$，所以直线$l$的倾斜角$\alpha$的范围是$45^{\circ}\leq\alpha\leq135^{\circ}$.

19. 已知点$P$在直线$x + 2y - 1 = 0$上，点$Q$在直线$x + 2y + 3 = 0$上，$PQ$的中点为$M(x_0, y_0)$，且$y_0 ＞ x_0 + 2$，则$\frac{y_0}{x_0}$的取值范围是$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{5})$.

答案：
19.$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{5})$ 解析 注意到两直线是平行的，故点$M$的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，其方程为$x + 2y + 1 = 0$，又点$M$的坐标满足$y＞x + 2$，所以点$M$在如下图所示的射线$M_0M$：$x + 2y + 1 = 0(x＜-\frac{5}{3})$上，其中点$M_0(-\frac{5}{3},\frac{1}{3})$.因为$\frac{y_0}{x_0}$表示射线$M_0M$上的点与原点$O$连线的斜率，所以$-\frac{1}{2}＜\frac{y_0}{x_0}＜-\frac{1}{5}$.