《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

变式1 若向量a=(1,−2,2),b=(x,
3,0),c=(1,3,3)是共面向量，则实数x的值
是 ()

A.−$\frac{1}{2}$
B.−$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 答案 B
解析 向量a=(1,−2,2),b=(x,3,
0),c=(1,3,3)是共面向量，所以存在唯一实
数对λ,μ,使得b=a+μc,解得x=−$\frac{1}{4}$,λ=
−$\frac{3}{4}$,p=$\frac{1}{2}$.

[例2]如下图所示，已知空间四边形
ABCD的每条边和对角线都等于1,点E,F
分别是AB,AD的中点，设a,b,c为空间向
量的一组基底,AB=a,AC=b,AD=c,试用
基底向量法求解:

(1)EF.AB;
(2)异面直线CF与BD所成角的余
弦值.

答案： 答案
(1)−$\frac{1}{4}$
(2)$\frac{\sqrt{3}}{6}$
解析
(1)由题意AB=a,AC=b,AD=c,
则|a|=|b|={c|=1,
(a,b＞=(b,c＞=(c,a)=60°,
故a.b=b.c=c.a=1×1×cos60°=$\frac{1}{2}$.
因为EF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$(AD−AB)
=$\frac{1}{2}$(c−a),
所以EF.AB=($\frac{1}{2}$c−$\frac{1}{2}$a).a
=$\frac{1}{2}$c.a−$\frac{1}{2}$a²=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$−$\frac{1}{2}$=−$\frac{1}{4}$.
(2)由题意可知
CF=CA+AF=AF−AC=$\frac{1}{2}$c−b,
BD=AD−AB=c−a.
所以CF.BD=($\frac{1}{2}$c−b)(c−a)
=$\frac{1}{2}$c²−b.c−$\frac{1}{2}$a.c+a.b
=$\frac{1}{2}$−$\frac{1}{2}$−$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$==$\frac{1}{4}$.
又因为|CF|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,|BD|=1,
记异面直线CF与BD所成的角为θ，
1
则cosθ=$\frac{CF.BD}{|CF|.|BD|}$=|$\frac{4}{3}$√3−=$\frac{√3}{6}$.
2
点睛 用空间向量法求异面直线所成角
的余弦值，即把角的求解转化为向量运算，应
注意体会这两种方法的特点，“转化”是求异
面直线所成角的关键，一般地，异面直线的夹
角的余弦值为|cos＜m,n＞|=$\frac{m.n|}{m|.|n|}$.