《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

变式 2 已知圆的圆心在曲线 $xy = 1(x ＞ 0)$ 上，且圆与直线 $x + 4y + 13 = 0$ 相切，当圆的面积最小时，其标准方程为。

答案： 答案 $(x - 2)^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = 17$
解析 圆的面积最小等价于圆的半径最小，因为圆的圆心在曲线 $xy = 1(x ＞ 0)$ 上，所以可设圆心为 $(a,\frac{1}{a})$，$a ＞ 0$。圆与直线 $x + 4y + 13 = 0$ 相切，所以圆的半径等于圆心到直线的距离 $d = \frac{|a + \frac{4}{a} + 13|}{\sqrt{17}} \geq \frac{17}{\sqrt{17}} = \sqrt{17}$，所以 $r_{min} = \sqrt{17}$，此时 $a = 2$。故答案为 $(x - 2)^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = 17$。
点睛 圆的面积最小等价于圆的半径最小，根据点到直线距离公式，利用基本不等式可得结果。

【例 3】若直线 $L:ax - by - 1 = 0$ 始终平分圆 $C:x^2 + y^2 - 4x + 2y + 1 = 0$ 的周长，则 $(a - 4)^2 + (b - 3)^2$ 的最小值是。

答案： 答案 20
解析 因为直线 $L$ 始终平分圆 $C$ 的周长，所以直线 $L$ 必过圆 $C$ 的圆心，即圆心 $(2,-1)$ 在直线 $L$ 上，所以 $2a + b - 1 = 0$，则 $(a - 4)^2 + (b - 3)^2$ 表示点 $(4,3)$ 到直线 $2a + b - 1 = 0$ 上的点 $(a,b)$ 的距离的平方，所以 $(a - 4)^2 + (b - 3)^2$ 的最小值是 $(\frac{|2 × 4 + 3 - 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2}})^2 = 20$。
点睛 圆 $C$ 的圆心在直线 $L$ 上，从而可得 $2a + b - 1 = 0$，又 $(a - 4)^2 + (b - 3)^2$ 表示点 $(4,3)$ 到直线 $2a + b - 1 = 0$ 上的点 $(a,b)$ 的距离的平方，从而利用点到直线距离公式即可求解。

变式 3 已知 $k \in \mathbf{R}$，动直线 $kx + y - 1 = 0$ 和动直线 $x - ky - k + 3 = 0$ 交于点 $P(x,y)$，则 $\sqrt{(x - 2)^2 + y^2}$ 的取值范围为。

答案： 答案 $[\frac{7 - \sqrt{13}}{2},\frac{7 + \sqrt{13}}{2}]$
解析 动直线 $kx + y - 1 = 0$ 过定点 $A(0,1)$，动直线 $x - ky - k + 3 = 0$ 过定点 $B(-3,-1)$，且两条直线的斜率乘积为 $-1$，所以两条直线垂直，所以 $P(x,y)$ 是在以 $AB$ 为直径的圆上运动，圆心为 $AB$ 的中点 $C(-\frac{3}{2},0)$。$\sqrt{(x - 2)^2 + y^2}$ 表示 $D(2,0)$ 到点 $P$ 的距离，其最大值为 $CD + r$，最小值为 $CD - r$。$r = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt{3^2 + 2^2} = \frac{\sqrt{13}}{2}$，$CD = \sqrt{(2 + \frac{3}{2})^2} = \frac{7}{2}$，$CD + r = \frac{7 + \sqrt{13}}{2}$，$CD - r = \frac{7 - \sqrt{13}}{2}$，所以 $\sqrt{(x - 2)^2 + y^2}$ 的取值范围为 $[\frac{7 - \sqrt{13}}{2},\frac{7 + \sqrt{13}}{2}]$。
点睛 判断出两条动直线经过定点，结合两条直线的斜率，容易判断两条直线互相垂直，从而得到点 $P(x,y)$ 的轨迹为圆，数形结合即可得到结果。