《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

9.已知抛物线y²=2px(p＞0)上一点M到
其准线及对称轴的距离分别为3和2$\sqrt{2}$,
则p的值可以是 (AC)

A.2
B.6
C.4
D.8

答案： 9.AC　解析　由条件得$(2\sqrt{2})^2=2p(3-\frac{p}{2})\Rightarrow p = 2$或$p = 4$.

10.已知双曲线C1:$\frac{x²}{a²}$−$\frac{y²}{b2}$=1(a＞0,b＞0)
的实轴长是2,右焦点与抛物线C2:y²=
8x的焦点F重合，双曲线C1与抛物线
C2交于A、B两点，则下列结论中正确的
是 (BC)

A.双曲线C1的离心率为2$\sqrt{3}$
B.抛物线C2的准线方程是x=−2
C.双曲线C1的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x
D.|AF|+|BF|=$\frac{20}{3}$

答案： 10.BC　解析　双曲线$C_1$的右焦点与抛物线$C_2$的右焦点为$(2,0)$，所以双曲线$C_1$的$a = 1$，$c = 2$，$b=\sqrt{3}$，$e=\frac{c}{a}=2$，$y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\sqrt{3}x$，抛物线$C_2$的准线方程是$x = -2$，A错，B对，C对.$\begin{cases}x^2-\frac{y^2}{3}=1\\y^2=8x\end{cases}\Rightarrow(3x + 1)(x - 3)=0$，解得$x = 3$或$x=-\frac{1}{3}$(舍)，故$|AF|+|BF|=2(x+\frac{p}{2})=10$，D错.

11.已知点P(xo,yo)是抛物线C:y²=4x上
一动点，则 (BCD)

A.C的焦点坐标为(2,0)
B.C的准线方程为x+1=0
C.\(x_0 + 1 = \sqrt{(x_0 - 1)^2 + y_0^2}\)
D.

答案： 11.BCD　解析　抛物线$C:y^2=4x$，所以焦点坐标为$(1,0)$，$C$的准线方程为$x + 1 = 0$，故A错误，B正确；根据抛物线的定义可得$P$到焦点的距离等于$P$到准线的距离，即$x_0 + 1=\sqrt{(x_0 - 1)^2+y_0^2}$，故C正确；因为$y_0^2 = 4x_0$，所以$x_0+\frac{1}{y_0^2+1}=\frac{y_0^2}{4}+\frac{1}{y_0^2+1}=\frac{y_0^2+1}{4}+\frac{1}{y_0^2+1}-\frac{1}{4}\geq2\sqrt{\frac{1}{4}·\frac{1}{4}}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$，当且仅当$\frac{y_0^2+1}{4}=\frac{1}{y_0^2+1}$，即$y_0^2 = 1$时，等号成立.故$x_0+\frac{1}{y_0^2+1}$的最小值为$\frac{3}{4}$，故D正确.

12.已知抛物线x²=2py(p＞0)的焦点为F,
过点F的直线L交抛物线于A,B两点，
以线段AB为直径的圆交x轴于M,N 两点，设线段AB的中点为Q.若抛物线
C上存在一点E(t,2)到焦点F的距离等
于3.则下列说法中正确的是 (BCD)

A.抛物线的方程是x²=2y
B.抛物线的准线是y=−1
C.sin∠QMN的最小值是$\frac{1}{2}$
D.线段AB的最小值是4

答案： 12.BCD　解析　抛物线$C:x^2=2py(p\gt0)$的焦点为$F(0,\frac{p}{2})$，得抛物线的准线方程为$y=-\frac{p}{2}$，点$E(t,2)$到焦点$F$的距离等于$3$，可得$2+\frac{p}{2}=3$，解得$p = 2$，则抛物线$C$的方程为$x^2=4y$，所以A不正确.抛物线的准线方程为$y = -1$，所以B正确.由题知直线$l$的斜率存在，$F(0,1)$，设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，直线$l$的方程为$y = kx + 1$，由$\begin{cases}y = kx + 1\\x^2 = 4y\end{cases}$消去$y$得$x^2 - 4kx - 4 = 0$，所以$x_1+x_2 = 4k$，$x_1x_2=-4$，所以$y_1+y_2=k(x_1+x_2)+2=4k^2+2$，所以$AB$的中点$Q$的坐标为$(2k,2k^2+1)$，$|AB|=y_1+y_2+p=4k^2+2+2=4k^2+4$，所以圆$Q$的半径为$r = 2k^2+2$，在等腰$\triangle QMN$中，$\sin\angle QMN=\frac{|y_Q|}{r}=\frac{2k^2+1}{2k^2+2}=1-\frac{1}{2k^2+2}\geq1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，当且仅当$k = 0$时取等号.所以$\sin\angle QMN$的最小值为$\frac{1}{2}$.所以C正确.线段$AB$的最小值是：$y_1+y_2+2=4k^2+4\geq4$，所以D正确.

13.若抛物线y²=2px(p＞0)的准线为圆
x²十y²+4x=0的一条切线.则抛物线的
方程为y²=16x.

答案： 13.$y^2=16x$　解析　因为抛物线$y^2=2px$的准线方程为$x=-\frac{p}{2}$，垂直于$x$轴，圆$x^2+y^2+4x=0$化为标准方程得$(x + 2)^2+y^2=4$，圆心为$(-2,0)$，半径为$2$.因为直线$x=-\frac{p}{2}$是圆的一条切线，$\left|-2-(-\frac{p}{2})\right|=2$，解得$p = 8$（$p = 0$舍去）.故抛物线的方程为$y^2=16x$.

14.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛
物线y²=2px(p＞0)上任意一点,Q是线
段PF上的点,且2|PQ|=|QF|,,则直线
OQ的斜率的最大值为√2.

答案：
14.$\sqrt{2}$　解析　如下图所示：由题设$P(2pt^2,2pt)(t\gt0)$，则$F(\frac{p}{2},0)$，$Q(\frac{p}{6}+\frac{4}{3}pt^2,\frac{4}{3}pt)$，所以$k_{OQ}=\frac{\frac{4}{3}pt}{\frac{p}{6}+\frac{4}{3}pt^2}=\frac{8t}{1+8t^2}\leq\sqrt{2}$.

15.抛物线y²=2x的顶点为O,焦点为F,M
是抛物线上的动点，则$\frac{|MO}{|MF}$取最大值时
M点的横坐标为1.

答案：
15.1　解析　如下图所示，设$M(x,y)$，则$|MO|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+2x}$，$|MF|=x+\frac{1}{2}$，则$\frac{|MO|}{|MF|}=\frac{\sqrt{x^2+2x}}{x+\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{x^2+2x}{x^2+x+\frac{1}{4}}}$，令$t=\frac{x^2+2x}{x^2+x+\frac{1}{4}}$，下面用$\triangle$法求最大值.$t=\frac{x^2+2x}{x^2+x+\frac{1}{4}}$，则$(t - 1)x^2+(t - 2)x+\frac{1}{4}t = 0$，则由$\triangle\geq0\Rightarrow t\leq\frac{4}{3}$，当$t=\frac{4}{3}$时，$x = 1$.

16.已知抛物线y²=4x的焦点为F,若点A,
B是该抛物线上的点,AF.BF=O,线段
AB的中点M在抛物线的准线上的射影
为N,则I|MABN|I的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

答案： 16.$\frac{\sqrt{2}}{2}$　解析　由条件设$|FA|=a$，$|FB|=b$，则由$\overrightarrow{AF}·\overrightarrow{BF}=0$得$|AB|^2=a^2+b^2$，且根据抛物线的性质可得$|MN|=\frac{a+b}{2}$，由不等式$a^2+b^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}$得$|AB|=\sqrt{a^2+b^2}\geq\frac{a+b}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}|MN|$，即$\frac{|MN|}{|AB|}\leq\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\frac{|MN|}{|AB|}$的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，等号当且仅当直线$AB$的方程为$x = 3 - 2\sqrt{2}$时取到.

17.抛物线y²=2$\sqrt{3}$x上在第一象限有一点
P,P在准线上的射影为Q,焦点为F,
△PQF为正三角形,则△PQF的外接圆
标准方程是$(x-\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(y-2)^2=4$.

答案： 17.$(x-\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(y - 2)^2=4$　解析　因为$\triangle PQF$为正三角形，$F(\frac{\sqrt{3}}{2},0)$，所以$x_Q+x_P=-\frac{\sqrt{3}}{2}+x_P=\frac{\sqrt{3}}{2}×2\Rightarrow x_P=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，因此，$\triangle PQF$的边长$PQ=x_P-x_Q=2\sqrt{3}$，高为$h=\frac{\sqrt{3}}{2}PQ = 3$，外心$T$与$F$满足$TF// y$轴，且半径$R = TF=\frac{2}{3}h$，故$T(\frac{\sqrt{3}}{2},2)$，因此，$\triangle PQF$的外接圆方程为$(x-\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(y - 2)^2=4$.

18.如下图所示，已知抛物线C1的顶点在坐
标原点，焦点在x轴上,且过点(3,6),圆
C2:x²+y²−6x+8=0,过圆心C2的直线
L与抛物线和圆分别交于点P,Q,M,N,
则|PN|+2|QM|的最小值为$12+6\sqrt{2}$.

答案： 18.$12 + 6\sqrt{2}$　解析　因为抛物线$C_1$的焦点在$x$轴上，且过点$(3,6)$，所以可设抛物线$C_1$的方程为$y^2=2px(p\gt0)$，则$36 = 2p×3$，则$2p = 12$，所以抛物线的标准方程为$y^2=12x$，焦点$F(3,0)$，准线方程$x = -3$.因为圆$C_1:x^2+y^2-6x + 8 = 0$的圆心为$(3,0)$，半径为$1$，所以直线$PQ$过抛物线的焦点，则$\frac{1}{|PF|}+\frac{1}{|QF|}=\frac{2}{p}=\frac{1}{3}$.所以$|PN|+2|QM|=|PF|+1+2(|QF|+1)=|PF|+2|QF|+3=3(|PF|+2|QF|)(\frac{1}{|PF|}+\frac{1}{|QF|})+3\geq3(3+2\sqrt{2})+3=12+6\sqrt{2}$，当且仅当$|PF|=\sqrt{2}|QF|$时取等号.