《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

1. 过两点$(-1, 1)$和$(3, 9)$的直线在$x$轴上的截距是(A)

A.$-\frac{3}{2}$
B.$-\frac{2}{3}$
C.$\frac{2}{5}$
D.2

答案： 1.A　解析　由两点式方程可得$\frac{y - 1}{9 - 1} = \frac{x - ( - 1)}{3 - ( - 1)}$，令$y = 0$，得$x = - \frac{3}{2}$。

2. 已知直线$l$过点$P(3, 4)$，它的倾斜角是直线$y = x + 1$的两倍，则直线$l$的方程为(D)

A.$y - 4 = 2(x - 3)$
B.$y - 4 = x - 3$
C.$y - 4 = 0$
D.$x - 3 = 0$

答案： 2.D　解析　直线$y = x + 1$的倾斜角为$45°$，则直线$l$倾斜角为$90°$，直线$l$的方程为$x = 3$。

3. 若直线$l_1: ax + 2y - 1 = 0$与直线$l_2: x + (a + 1)y + 4 = 0(a \in \mathbf{R})$平行，则$a$的值为(D)

A.1
B.-1
C.0
D.1 或 -2

答案： 3.D　解析　当$a = - 1$时，$l_1$与$l_2$不平行，当$a \neq - 1$时，$\frac{a}{1} = \frac{2}{a + 1} \neq \frac{- 1}{4}$，由$a^2 + a - 2 = 0$得$a = 1$或$a = - 2$。

4. 已知$ab ＜ 0$，$bc ＜ 0$，则直线$ax + by = c$不通过(B)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 4.B　解析　直线$ax + by = c$化为$y = - \frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$，而$ab ＜ 0$，$bc ＜ 0$，则$- \frac{a}{b} ＞ 0$，$\frac{c}{b} ＜ 0$，直线$ax + by = c$不通过第二象限。

5. 方程$(a - 1)x - y + 2a + 1 = 0(a \in \mathbf{R})$所表示的直线(A)

A.恒过定点$(-2, 3)$
B.恒过定点$(2, 3)$
C.恒过点$(-2, 3)$和点$(2, 3)$
D.都是平行直线

答案： 5.A　解析　将$(a - 1)x - y + 2a + 1 = 0$整理得$a(x + 2) - x - y + 1 = 0$，令$\begin{cases}x + 2 = 0\\- x - y + 1 = 0\end{cases}$，即$\begin{cases}x = - 2\\y = 3\end{cases}$，所以直线恒过定点$( - 2,3)$。

6. 点$(3, 9)$关于直线$x + 3y - 10 = 0$对称的点的坐标是(A)

A.$(-1, -3)$
B.$(17, -9)$
C.$(-1, 3)$
D.$(-17, 9)$

答案： 6.A　解析　设对称点的坐标为$(a,b)$，则$\begin{cases}\frac{b - 9}{a - 3} × ( - \frac{1}{3}) = - 1\frac{a + 3}{2} + 3 × \frac{b + 9}{2} - 10 = 0\end{cases}$，解得$a = - 1$，$b = - 3$。

7. 已知$M(1, 0)$、$N(-1, 0)$，直线$2x + y = b$与线段$MN$相交，则$b$的取值范围是(A)

A.$[-2, 2]$
B.$[-1, 1]$
C.$[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$
D.$[0, 2]$

答案： 7.A　解析　直线$2x + y = b$变形为$y = - 2x + b$，$b$为直线在$y$轴上的截距。直线$y = - 2x + b$过点$M(1,0)$、$N( - 1,0)$时，$b$分别取得最大值$2$和最小值$- 2$。

8. 直线$l$过点$P(1, 2)$，且$M(2, 3)$，$N(4, -5)$到$l$的距离相等，则直线$l$的方程是(C)

A.$4x + y - 6 = 0$
B.$x + 4y - 6 = 0$
C.$3x + 2y - 7 = 0$或$4x + y - 6 = 0$
D.$2x + 3y - 7 = 0$或$x + 4y - 6 = 0$

答案： 8.C　解析　易得直线$l$平行于$MN$或过线段$MN$的中点。当直线$l // MN$时，$k_{MN} = - 4$，直线$l$的方程是$y - 2 = - 4(x - 1)$，即$4x + y - 6 = 0$。当直线$l$过线段$MN$的中点$(3, - 1)$时，由两点式可得$\frac{y - 2}{- 1 - 2} = \frac{x - 1}{3 - 1}$，即$3x + 2y - 7 = 0$。

9. 直线$l$经过点$A(1, 2)$，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线$l$的方程可能为(ABC)

A.$x - y + 1 = 0$
B.$x + y - 3 = 0$
C.$2x - y = 0$
D.$x - y - 1 = 0$

答案： 9.ABC　解析　直线$l$在两坐标轴上截距的绝对值相等，分为两类。
(1)若两截距相等，则直线过原点或$k = - 1$，选$BC$。
(2)若两截距互为相反数，则$k = 1$，选$A$。

10. 直线$(2m - 1)x + my + 1 = 0$与直线$mx + 3y + 3 = 0$相互垂直，则实数$m$的值可能为(AB)

A.-1
B.0
C.1
D.2

答案： 10.AB　解析　两直线垂直，则$(2m - 1)m + 3m = 0$，得$m = 0$或$m = - 1$。

11. 下列四个命题中为

假

命

题

的是(ACD)

A.经过定点$P_0(x_0, y_0)$的直线都可以用方程$y - y_0 = k(x - x_0)$表示
B.经过任意两个不同的点$P_1(x_1, y_1)$、$P_2(x_2, y_2)$的直线都可以用方程$(x_2 - x_1)(y - y_1) = (y_2 - y_1)(x - x_1)$表示
C.不经过原点的直线都可以用方程$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$表示
D.经过定点$A(0, b)$的直线都可以用方程$y = kx + b$表示

答案： 11.ACD　解析　A：直线$x = x_0$不能用$y - y_0 = k(x - x_0)$表示，故A错误；C：直线$x = a$，$y = b$不能用$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$表示，故C错误；D：直线$x = 0$不能用$y = kx + b$表示，故D错误。